CF1787E The Harmonization of XOR 题解

CF1787E The Harmonization of XOR

题目大意

给定 \(n\) 个数 \([1, 2, 3, \cdots, n]\) 和两个正整数 \(k\) 和 \(x\)。

将这些数分成恰好 \(k\) 组使得每组的异或和都是 \(x\)。

（\(1 \le k \le n \le 2 \cdot 10^5, 1 \le x \le 10^9\)）。

题解

首先，我们知道，如果我们无法从 \(n\) 个数中提取出 \(k\) 个异或和为 \(x\) 的集合，那么一定无解。所以我们想要尽量多的取提取集合，让每一个集合里的数尽量少。所以我们可以将所以异或和为 \(x\) 的集合写成 \([a \oplus x, a]\)（\(a\) 为正整数）这种形式。

证明如下：

假设我们现在已经无法提取出 \([a \oplus x, a]\) 这种形式的集合。

我们令 \(p\) 为 \(x\) 在二进制下的最高位，且 \(1 \sim n\) 中有 \(q\) 个数第 \(p\) 位为 \(1\)。

我们可以得到，对于 \([a \oplus x, a]\) 这个形式的集合，\(a \oplus x\) 与 \(a\) 中只有一个数第 \(p\) 位为 \(1\)。如果在没有选择的数中，仍有数第 \(p\) 位为 \(1\)，那么它与 \(x\) 的异或和也一定没有选择，并且它们可以组成 \([a \oplus x, a]\) 这个形式的集合。因为 \(a \oplus x\) 一定比 \(a\) 小，并且 \(a\) 与 \(a \oplus x\) 一一对应，不会有其他数选中 \(a \oplus x\)。

有了上面的结论，我们就可以先去枚举 \(a\)，尝试提取出 \(k\) 个形式为 \([a \oplus x, a]\) 或 \([x]\) 的集合。如果 \(a\) 已经从一枚举到了 \(n\)，但仍未提出来 \(k\) 组集合，那么显然无解。如果能够提出来，去考虑剩下的数的异或和是否等于零。如果等于零，可以放在任意一个集合中，不影响这个集合最终的异或和。如果不为零，那么一定无解，因为我们想要满足条件就一定无法选中所有的数。实现就很简单了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define M 200005

using namespace std;

int T, n, k, x, cnt, tot;
bool vis[M];
pair<int, int> pa[M];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin >> T;
    for(int t = 1; t <= T; ++ t) {
        cnt = 0;
        tot = 0;
        for(int i = 0; i <= n; ++ i)
            vis[i] = 0;
        cin >> n >> k >> x;
        for(int i = 0; i <= n; ++ i) {
            if(vis[i])
                continue;
            if((i ^ x) <= n) {
                vis[i] = 1;
                vis[x ^ i] = 1;
                tot += (i == 0 ? 1 : 2);
                pa[++ cnt] = {x ^ i, i};
                if(cnt == k)
                    break;
            }
        }
        if(cnt != k)
            cout << "NO\n";
        else {
            int sum = 0;
            for(int i = 0; i <= n; ++ i)
                if(!vis[i])
                    sum ^= i;
            if(sum == 0) {
                cout << "YES\n";
                for(int i = 1; i < k; ++ i) {
                    if(pa[i].second != 0)
                        cout << '2' << ' ' << pa[i].first << " " << pa[i].second << '\n';
                    else
                        cout << '1' << ' ' << pa[i].first << '\n';
                }
                int pos1 = pa[k].first, pos2 = pa[k].second;
                cout << n - tot + (pos2 == 0 ? 1 : 2) << ' ';
                for(int i = 1; i <= n; ++ i)
                    if(!vis[i] || i == pos1 || i == pos2)
                        cout << i << ' ';
                cout << '\n';
            }
            else
                cout << "NO\n";
        }
    }
}