线性dp：大盗阿福（打家劫舍）

大盗阿福

• 本题与leetcode198题——打家劫舍的题意一模一样，阅读完本文以后可以尝试以下题目

力扣题目链接)

题目叙述：

阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。这条街上一共有N家店铺，每家店中都有一些现金。阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。作为一向谨慎作案的大盗阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金?

输入格式

• 输入的第一行是一个整数T，表示一共有T组数据。
• 接下来的每组数据，第一行是一个整数N，表示一有N家店铺。
• 第二行是N个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。每家店铺中的现金数量均不超过1000。

输出格式

• 对于每组数据，输出一行。该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。

输入样例：

2
3
1 8 2
4
10 7 6 14

输出样例：

8
24

样例解释：

• 对于第一组样例，阿福选择第2家店铺行窃，获得的现金数量为8。对于第二组样例，阿福选择第1和4家店铺行窃获得的现金数量为10+14=24.

动态规划思路分析

• 设我们打劫的店铺数量为i，获取的价值和为dp ,那么dp明显是i的一个函数，那么我们就用dp[i]作为状态变量，dp[i]表示偷前i家店铺所能获取的价值最大值

状态变量以及它的含义

• 由上面分析可知，我们设立dp[i] 作为状态变量，并且dp[i]的含义是偷前i家店铺所能获取收益的最大值.

递推公式

• 我们设dp[i] ，在i的这个位置有两种状态：
  • 1.第i家店铺不偷——dp[i]=dp[i-1]
  • 2.第i家店铺偷——dp[i]=dp[i-2]+w[i]，w[i]为第i家店铺的价值

具体细节如下图所示：

• 

遍历顺序：

• 由上面两步分析可知，dp[i]的状态一定是由前面dp[i-1]，dp[i-2]，推出来的，所以说遍历顺序一定是从前向后遍历。

如何初始化？

• 我们首先得处理好边界条件：dp[0]和dp[1]怎么处理？
• 偷前0家店铺的最大价值显然是0，偷前1家店铺的最大价值显然为w[1]
• 处理好边界条件以后，我们再从前向后，依据递推公式进行递推就行了

举例验证dp数组

下标：1，2，3，4

w[i]：10，7，6，14

dp[i]：10，10，16，24

• 通过样例2分析可知，我们的dp数组没有分析错。因此我们验证了我们的dp数组的正确性。

优化

• 我们可以用dp[i-1]的状态直接推出dp[i]的状态。

• 我们状态表示可以优化成：

  • f[i][0]表示不偷第i家店铺能获取的最大值
  • f[i][1]表示偷第i家店铺能获取的最大值

• 那么我们的状态转移方程就可以从dp[i-1]推出，不偷第i家店铺，那么我们就可以偷第i-1家店铺，也可以不偷，我们选取这两个之中的最大值，如果偷第i家店铺的话，第i-1家店铺我们一定只能选择不偷。

  • 不偷：dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1])
  • 偷：dp[i][1]=dp[i-1][0]+w[i]

  

优化后的边界处理：

• 不偷第1家店铺：f[i][0]=0
• 偷第1家店铺：f[i][1]=w[1]

优化后的代码处理：

scanf("%d",&t)
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
        f[1][0]=0;f[1][1]=w[1];
        for(int i=2;i<=n;i++){
            f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1]);
            f[i][1]=f[i-1][0]+w[i];
        }
        printf("%d\n",max(f[n][0],f[n][1]));
    }

总结：

• 我们上面讲述的两种方法，第一种方法叫做分步转移，第二种方法叫做分类转移，在有些情况下，二者都能使用，而在某些题目当中，只能使用分类转移的方法，我们在以后也会介绍的！希望大家能理解这两种做法。