CF506D题解

Mr. Kitayuta's Colorful Graph

算法：根号分治。

题目大意先说一下：给一个 \(n\) 点 \(m\) 边的无向图，边有颜色。\(q\) 组询问，每次给出 \(u,v\)，求有多少种颜色 \(c\)，使得存在一条 \(u\) 到 \(v\) 的路径，这个路径中每条边的颜色都为 \(c\)。

数据范围：\(2\le n\le 10^5,1\le c\le m,q\le 10^5\)。

先考虑一个朴素的暴力，暴力对每个颜色加边，用并查集判连通性，暴力扫过每个询问，如果在一个颜色上这两个点是连通的，答案加 \(1\)。

发现这种做法在颜色非常多的时候要扫过每个颜色和每个询问的时间复杂度非常高，难以接受，所以要考虑优化。

我们怎么优化？上文提及了在颜色非常多的时候复杂度会爆炸，那么他有什么优势？当然是在颜色少的时候跑得很快，那么我们采取他的优势，想一想颜色多的时候的优秀的写法。

这里可以停顿 \(1\) 分钟，自己想一下。

我们可以发现，既然颜色多，边的数量不会太多，那么就证明每个颜色的边连接的点不会太多，所以我们可以暴力枚举这样的颜色的边连接的点，判断是否连通，如果连通就答案加 \(1\)。

但是会出现一个问题，如果这个点对不在询问里怎么办？这其实是无关紧要的，因为询问的我们会处理到，没有询问的随便加也不会影响。

所以我们记颜色 \(c\) 的边数为 \(cnt_c\)，以 \(\sqrt m\) 为分界线，判断使用哪种暴力。

由于这道题的代码作者认为并不好写，所以下面放一下代码。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 100005
#define pii pair<int,int>
#define x first
#define y second
using namespace std;
int n,m,q,cnt[N];
int p[N];
vector<pii>e[N],qry,rqry,f[N];
map<int,bool>col;
map<pii,int>res;
int find(int x){
	if(p[x]!=x)p[x]=find(p[x]);
	return p[x];
}
void force1(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		p[i]=i;
	}
	for(auto eu:col){
		int c=eu.x;
		if(cnt[c]<sqrt(m))continue;
		for(auto edge:e[c]){
			int a=edge.x,b=edge.y;
			int fa=find(a),fb=find(b);
			if(fa!=fb){
				p[fa]=fb;
			}
		}
		map<pii,bool>st;
		for(auto eu:qry){
			int a=eu.x,b=eu.y;
			if(st[{a,b}])continue;
			int fa=find(a),fb=find(b);
			if(fa==fb)res[{a,b}]++;
			st[{a,b}]=1;
		}
		for(auto color:e[c]){
			int a=color.x,b=color.y;
			p[a]=a;p[b]=b;
		}
	}
}
void force2(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		p[i]=i;
	}
	for(auto eu:col){
		int c=eu.x;
		if(cnt[c]>=sqrt(m))continue;
		vector<int>ind;
		map<int,bool>state;
		for(auto edge:e[c]){
			int a=edge.x,b=edge.y;
			if(!state[a]){
				state[a]=1;
				ind.push_back(a);
			}
			if(!state[b]){
				state[b]=1;
				ind.push_back(b);
			}
			int fa=find(a),fb=find(b);
			if(fa!=fb){
				p[fa]=fb;
			}
		}
		for(int i=0;i<ind.size();i++){
			for(int j=i+1;j<ind.size();j++){
				int a=ind[i],b=ind[j];
				int c=min(a,b),d=max(a,b);
				int fa=find(c),fb=find(d);
				if(fa==fb){
					res[{c,d}]++;
				}
			}
		}
		for(auto color:e[c]){
			int a=color.x,b=color.y;
			p[a]=a;p[b]=b;
		}
	}
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		if(a>b)swap(a,b);
		cnt[c]++;
		col[c]=1;
		e[c].push_back({a,b});
	}
	cin>>q;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		if(a>b)swap(a,b);
		qry.push_back({a,b});
		rqry.push_back({a,b});
	}
	sort(qry.begin(),qry.end());
	qry.erase(unique(qry.begin(),qry.end()),qry.end());
	force1();
	force2();
	for(auto eu:rqry){
		int a=eu.x,b=eu.y;
		cout<<res[{a,b}]<<'\n';
	}
	return 0;
}