[NOI online2022普及B] 数学游戏

题目描述

Kri 喜欢玩数字游戏。

一天，他在草稿纸上写下了 \(t\) 对正整数 \((x,y)\)，并对于每一对正整数计算出了 \(z=x\times y\times\gcd(x,y)\)。

可是调皮的 Zay 找到了 Kri 的草稿纸，并把每一组的 \(y\) 都擦除了，还可能改动了一些 \(z\)。

现在 Kri 想请你帮忙还原每一组的 \(y\)，具体地，对于每一组中的 \(x\) 和 \(z\)，你需要输出最小的正整数 \(y\)，使得 \(z=x\times y\times\gcd(x,y)\)。如果这样的 yy 不存在，也就是 Zay 一定改动了 \(z\)，那么请输出 \(-1\)。

注：\(\gcd(x,y)\) 表示 xx 和 yy 的最大公约数，也就是最大的正整数 \(d\)，满足 \(d\) 既是 \(x\) 的约数，又是 \(y\) 的约数。

输入格式

第一行一个整数 ，表示有 \(t\) 对正整数 \(x\) 和 \(z\)。

接下来 tt 行，每行两个正整数 \(x\) 和 \(z\)，含义见题目描述。

输出格式

对于每对数字输出一行，如果不存在满足条件的正整数 \(y\)，请输出 \(-1\)，否则输出满足条件的最小正整数 \(y\)。

输入输出样例

输入 #1

1
10 240

输出 #1

12

输入 #2

3
5 30
4 8
11 11

输出 #2

6
-1
1

输入 #3复制

见附件中的 math3.in

输出 #3复制

见附件中的 math3.out

输入 #4复制

见附件中的 math4.in

输出 #4复制

见附件中的 math4.out

说明/提示

【样例 1 解释】

\(x\times y\times \gcd(x,y)=10\times 12\times\gcd(10,12)=240\)

【数据范围】

对于 \(20\%\) 的数据，\(t, x, z \le {10}^3\)

对于 \(40\%\) 的数据，\(t \le {10}^3\)，\(x \le {10}^6\)，\(z \le {10}^9\)。

对于另 \(30\%\) 的数据，\(t \le {10}^4\)

对于另 \(20\%\) 的数据，\(x \le {10}^6\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le t \le 5 \times {10}^5\)，\(1 \le x \le {10}^9\) ，\(1 \le z < 2^{63}\) 。

设\(\gcd(x,y)\)为\(d\)，\(x=ad\),\(y=bd\),\(z=abd^3\)

尝试解出\(d\)，现在\(z\)中去掉\(a\)，\(z\div x =bd^2\)

利用上\(\gcd(a,b)=1\),\(\gcd(x^2,z\div x)\)就是\(d^2\)，开个根就能得到\(d\)。

然后用\(z\div x\div d\)就是\(bd\)，也就是\(y\)。然后在开根或很多地方可能会出现问题，所以把\(y\)带入式子验证一下。

#include<cstdio>
#include<cmath>
int t,x;
long long z,y,d;
long long gcd(long long x,long long y)
{
	if(x<y)
		return gcd(y,x);
	if(!y)
		return x;
	return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%lld",&x,&z);
		y=z/x;
		d=sqrt(gcd(1LL*x*x,y));
		y=y/d;
		if(x*y*gcd(x,y)!=z)
			printf("-1\n");
		else
			printf("%lld\n",y);
	}
}