「学习笔记」KMP 算法

前置知识

前缀 是指从串首开始到某个位置 \(i\) 结束的一个特殊子串.

真前缀 指除了 \(S\) 本身的 \(S\) 的前缀.

举例来说, 字符串 abcabeda 的所有前缀为 {a, ab, abc, abca, abcab, abcabe, abcabed, abcabeda}, 而它的真前缀为 {a, ab, abc, abca, abcab, abcabe, abcabed}.

后缀 是指从某个位置 \(i\) 开始到整个串末尾结束的一个特殊子串.

真后缀 指除了 \(S\) 本身的 \(S\) 的后缀.

举例来说, 字符串 abcabeda 的所有后缀为 {a, da, eda, beda, abeda, cabeda, bcabeda, abcabeda}, 而它的真后缀为 {a, da, eda, beda, abeda, cabeda, bcabeda}.

前缀函数

定义: 给定一个长度为 \(n\) 的字符串 \(s\), 其前缀函数被定义为一个长度为 \(n\) 的数组 nxt. 其中 nxt[i] 是子串 s[0 ~ i] 最长的相等的真前缀和真后缀的长度.

用数学语言描述如下:

\[nxt \left [i \right ] = \max_{k = 0 \sim i} \{s \left[0 \sim k - 1 \right ] = s \left[i - \left(k - 1 \right) \sim i \right]\}
\]

特别地, nxt[0] = 0, 因为不存在真前缀和真后缀.

过程

举例来说, 对于字符串 aabaaab,

nxt[0] = 0, a 没有真前缀和真后缀.

nxt[1] = 1, aa 只有一对相等的真前缀和真后缀: a, 长度为 \(1\).

nxt[2] = 0, aab 没有相等的真前缀和真后缀.

nxt[3] = 1, aaba 只有一对相等的真前缀和真后缀: a, 长度为 \(1\).

nxt[4] = 2, aabaa 相等的真前缀和真后缀有 a, aa, 最长的长度为 \(2\).

nxt[5] = 2, aabaaa 相等的真前缀和真后缀有 a, aa, 最长的长度为 \(2\).

nxt[6] = 3, aabaaab 相等的真前缀和真后缀只有 aab, 最长的长度为 \(3\).

暴力求法

cin >> s1;
len1 = s1.length();
for (int i = 1; i < len1; ++ i) {
	for (int j = i; j; -- j) {
    	if (s1.substr(0, j) == s1.substr(i - (j - 1), j)) {
			nxt[i] = j;
			break ;
		}
	}
}

优化

第一个重要的观察是 相邻的前缀函数值至多增加 \(1\).

参照下图所示, 只需如此考虑: 当取一个尽可能大的 nxt[i + 1] 时, 必然要求新增的 s[i + 1] 也与之对应的字符匹配, 即 s[i + 1] = s[nxt[i]], 此时 s[i + 1] = s[i] + 1.

\[\underbrace{\overbrace{s_0 ~ s_1 ~ s_2}^{nxt[i] = 3} ~ s_3}_{nxt[i+1] = 4} ~ \dots ~ \underbrace{\overbrace{s_{i-2} ~ s_{i-1} ~ s_{i}}^{nxt[i] = 3} ~ s_{i+1}}_{nxt[i+1] = 4}
\]

所以当移动到下一个位置时, 前缀函数的值要么增加一, 要么维持不变, 要么减少.

当 s[i+1] != s[nxt[i]] 时, 我们希望找到对于子串 s[0 ~ i], 仅次于 nxt[i] 的第二长度 \(j\), 使得在位置 \(i\) 的前缀性质仍得以保持, 也即 s[0 ~ (j - 1)] = s[(i - j + 1) ~ i]：

\[\overbrace{\underbrace{s_0 ~ s_1}_j ~ s_2 ~ s_3}^{nxt[i]} ~ \dots ~
\overbrace{s_{i-3} ~ s_{i-2} ~ \underbrace{s_{i-1} ~ s_{i}}_j}^{nxt[i]} ~ s_{i+1}
\]

如果我们找到了这样的长度 \(j\), 那么仅需要再次比较 s[i + 1] 和 s[j]. 如果它们相等, 那么就有 nxt[i + 1] = j + 1. 否则, 我们需要找到子串 s[0 ~ i] 仅次于 \(j\) 的第二长度 \(j_{2}\), 使得前缀性质得以保持, 如此反复, 直到 \(j = 0\). 如果 s[i + 1] != s[0], 则 nxt[i + 1] = 0.

观察上图可以发现, 因为 s[0 ~ nxt[i] - 1] = s[i - nxt[i] + 1 ~ i], 所以对于 s[0 ~ i] 的第二长度 \(j\), 有这样的性质:

\[\overbrace{\underbrace{s_0 ~ s_1}_j ~ s_2 ~ \underbrace{s_3 ~ s_4}_j}^{nxt[i]} ~ \dots ~
\overbrace{s_{i-4} ~ s_{i-3} ~ s_{i-2} ~ \underbrace{s_{i-1} ~ s_{i}}_j}^{nxt[i]} ~ s_{i+1}
\]

s[0 ~ j - 1] = s[i - j + 1 ~ i]= s[nxt[i] - j ~ nxt[i] - 1]

也就是说 \(j\) 等价于子串 s[nxt[i] - 1] 的前缀函数值 (你可以把上面的 \(i\) 换成 nxt[i] - 1), 即 j = nxt[nxt[i] - 1]. 同理, 次于 \(j\) 的第二长度等价于 s[j - 1] 的前缀函数值.

cin >> s1;
len1 = s1.length();
for (int i = 1; i < len1; ++ i) {
    int j = nxt[i - 1];
	while (j && s1[i] != s1[j]) {
		j = nxt[j - 1];
	}
	if (s1[i] == s1[j]) {
		++ j;
	}
	nxt[i] = j;
}

KMP 算法

给定一个文本 \(t\) 和一个字符串 \(s\), 我们尝试找到并展示 \(s\) 在 \(t\) 中的所有出现.

为了简便起见, 我们用 \(n\) 表示字符串 \(s\) 的长度, 用 \(m\) 表示文本 \(t\) 的长度.

我们构造一个字符串 \(s\) + # + \(t\), 其中 # 为一个既不出现在 \(s\) 中也不出现在 \(t\) 中的分隔符.

接下来计算该字符串的前缀函数. 现在考虑该前缀函数除去最开始 \(n + 1\) 个值 (即属于字符串 \(s\) 和分隔符的函数值) 后其余函数值的意义. 根据定义，nxt[i] 为右端点在 \(i\) 且同时为一个前缀的最长真子串的长度, 具体到我们的这种情况下, 其值为与 \(s\) 的前缀相同且右端点位于 \(i\) 的最长子串的长度. 由于分隔符的存在, 该长度不可能超过 \(n\). 而如果等式 nxt[i] = n 成立, 则意味着 \(s\) 完整出现在该位置 (即其右端点位于位置 \(i\)). 注意该位置的下标是对字符串 \(s\) + # + \(t\) 而言的.

因此如果在某一位置 \(i\) 有 nxt[i] = n 成立, 则字符串 \(s\) 在字符串 \(t\) 的 \(i - (n - 1) - (n + 1) = i - 2n\) 处出现.

正如在前缀函数的计算中已经提到的那样, 如果我们知道前缀函数的值永远不超过一特定值, 那么我们不需要存储整个字符串以及整个前缀函数, 而只需要二者开头的一部分. 在我们这种情况下这意味着只需要存储字符串 \(s\) + # 以及相应的前缀函数值即可. 我们可以一次读入字符串 \(t\) 的一个字符并计算当前位置的前缀函数值.

因此 Knuth–Morris–Pratt 算法（简称 KMP 算法）用 \(O_{n + m}\) 的时间以及 \(O_{n}\) 的内存解决了该问题.

/*
  The code was written by yifan, and yifan is neutral!!!
 */

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

template<typename T>
inline T read() {
	T x = 0;
	bool fg = 0;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') {
		fg |= (ch == '-');
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
	return fg ? ~x + 1 : x;
}

const int N = 1e6 + 5;

int nxt[N << 1];
char s1[N], s2[N], cur[N << 1];

inline void get_nxt(char* s) {
	int len = strlen(s);
	for (int i = 1; i < len; ++ i) {
		int j = nxt[i - 1];
		while (j && s[i] != s[j]) {
			j = nxt[j - 1];
		}
		if (s[i] == s[j]) {
			++ j;
		}
		nxt[i] = j;
	}
}

int main() {
	cin >> s1 >> s2;
	scanf("%s%s", s1, s2);
	strcpy(cur, s2);
	strcat(cur, "#");
	strcat(cur, s1);
	get_nxt(cur);
	int l1 = strlen(s1), l2 = strlen(s2);
	for (int i = l2 + 1; i <= l1 + l2; ++ i) {
		if (nxt[i] == l2) {
			cout << i - 2 * l2 + 1 << '\n';
		}
	}
	for (int i = 0; i < l2; ++ i) {
		cout << nxt[i] << ' ';
	}
	return 0;
}