LeetCode Backpack

Given n items with size Ai, an integer m denotes the size of a backpack. How full you can fill this backpack?

Example

If we have 4 items with size [2, 3, 5, 7], the backpack size is 11, we can select [2, 3, 5], so that the max size we can fill this backpack is 10. If the backpack size is 12. we can select [2, 3, 7] so that we can fulfill the backpack.

解题思路：

一、申请一块辅助空间，dp[A.length][m+1]，dp[i][j]的含义是当只有A[0..i]的物品,且背包容量为j的时候，背包最多能够装多少。

辅助数组dp[i][j]的值的取值方案:（看不懂先看下面案例流程）

1、          容量j < A[i],也就是说背包中不能装A[i]物品，于是dp[i][j] = dp[i-1][j];

2、          容量j > A[i],现在背包中能够装下i物品，于是我们有两种选择方案：

a)       装入A[i]物品，于是我装入i物品以后的背包的容量就只有j-A[i]，于是剩下A[0…i-1]物品，以及j-A[i]的背包容量，于是dp[i][j]=A[i]+dp[i][j-A[i]];

b)       另一种方案就是我能装A[i],但是我不装进去。

于是dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-A[i]] + A[i])

二、上面的没有看懂没有关系，我们举个例子分析流程以后再回来看。

1、假设A={2,3,4,5},背包size=10，首先申请dp空间，并且选择A[0]物品

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	0	0	2	2	2	2	2	2	2	2	2
3
4
5

现在假设就只有物品A[0]，size = 2,当背包容量j为0和1的时候,背包容量j < A[0]，当背包容量 j > A[0],但是此时只有A[0]物品，所以最多只能装入A[0].

2、假设现在能够选择A[0]和A[1]物品

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	0	0	2	2	2	2	2	2	2	2	2
3	0	0	2	3	3	5	5	5	5	5	5
4
5

当背包容量j为0、1、2的时候，不能j< [i] 所以dp[i][j] = dp[i-1][j]，也就是不在背包中装入A[1]物品，那么现在背包中的只可能装入a[0]，所以dp[1][j]的状态和dp[0][j]一样。当背包容量 j > A[1],于是dp[i][j]就有两种选择，装入A[1]个不装入A[1],然后选择两种情况下的最大值：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-A[i]] + A[i])

3、          假设现在能够选择A[0]、A[1]、A[2]物品

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	0	0	2	2	2	2	2	2	2	2	2
3	0	0	2	3	3	5	5	5	5	5	5
4	0	0	2	3	4	5	5	5	5	9	9
5

4、假设现在能够选择A[0]、A[1]、A[2]、A[3]物品

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	0	0	2	2	2	2	2	2	2	2	2
3	0	0	2	3	3	5	5	5	5	5	5
4	0	0	2	3	4	5	6	7	7	9	9
5	0	0	2	3	4	5	6	7	8	9	10

总之更具上面的dp[i][j]的值的决策方案走就能够得出最终结果。

public class Solution {
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @return: The maximum size
     */
    public int backPack(int m, int[] A) {
        if (m <= 0 || A == null || A.length == 0) {
            return 0;
        }
        int len = A.length;
        int[][] dp = new int[len][m + 1];
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            if (i >= A[0])
                dp[0][i] = A[0];
        }
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j <= m; j++) {
                if (j >= A[i]) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - A[i]] + A[i]);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[len - 1][m];
    }
    public static void main(String[] args) {
        int m = 10;
        int[] arr = {3, 4, 8, 5};
        int s = new Solution().backPack(m, arr);
        System.out.println(s);
    }
}

题目二

Given n items with size Ai and value Vi, and a backpack with size m. What's the maximum value can you put into the backpack?

Example

Given 4 items with size [2, 3, 5, 7] and value [1, 5, 2, 4], and a backpack with size 10. The maximum value is 9.

public class Solution {
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A & V: Given n items with size A[i] and value V[i]
     * @return: The maximum value
     */
   public int backPackII(int m, int[] A, int V[]) {

        if (m <= 0 || A == null || A.length == 0 || V == null || V.length == 0) {
            return 0;
        }

        int len = A.length;
        int[][] dp = new int[len][m + 1];

        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            if (i >= A[0])
                dp[0][i] = V[0];
        }

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j <= m; j++) {
                if (j >= A[i]) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - A[i]] + V[i]);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }

        return dp[len - 1][m];
    }
}

题目三：给定数组arr，arr中所有的值都为正且不重复，每个整数可以使用无数次，给定一个正整数aim，从arr中选择一个任意数字组合，求和为aim的数字组合有多少种。

Example:

arr={5,10,25,1}, aim=0

组成0园的方式有一种，就是都不用

arr={5,10,25,1},aim=15

组成15有6种方式：3个5，1个5+1个10，一个10+5个1，1个5+10个1，2个5+5个1，一个15，返回6

解题思路：申请辅助空间dp[i][j],dp[i][j]的值的含义为当只选择arr[0...i]的时候，有多少种方式可以组成j

dp[i][j]的值的决策方案：

1、当不选择arr[i]，dp[i][j] = dp[i-1][j]

2、当选择arr[i]，如果 j <arr[i] 就无法选择arr[i],dp[i][j] = dp[i-1][j],当j>arr[i]，且选择了arr[i]，dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-arr[i]]

public int backPackVI(int[] nums, int target) {
            int len = nums.length;

            int[][] dp = new int[len][target + 1];

            for (int i = 0; i < len; i++) {
                dp[i][0] = 1;
            }
            for (int i = 1; nums[0] * i <= target; i++) {

                dp[0][nums[0] * i] = 1;
            }

            for (int i = 1; i < len; i++) {
                for (int j = 1; j <= target; j++) {
                    if (j >= nums[i])
                        dp[i][j] += dp[i - 1][j] + dp[i][j - nums[i]];
                    else
                        dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
            return dp[len - 1][target];
        }

该题可以进行空间压缩，参考代码如下：

public int backPackVI2(int[] nums, int target) {
        // Write your code here
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;

        for (int i = 0; i < nums.length; ++i)
            for (int j = 0; j <= target; ++j)
                if (j >= nums[i])
                    dp[j] += dp[j - nums[i]];

        return dp[target];
    }