[noip模拟]数字对<RMQ&二分>

数字对

【题目描述】

小H是个善于思考的学生，现在她又在思考一个有关序列的问题。

她的面前浮现出一个长度为n的序列{ai}，她想找出一段区间[L, R](1 <= L <= R <= n)。

这个特殊区间满足，存在一个k(L <= k <= R)，并且对于任意的i(L <= i <= R)，ai都能被ak整除。这样的一个特殊区间 [L, R]价值为R - L。

小H想知道序列中所有特殊区间的最大价值是多少，而有多少个这样的区间呢？这些区间又分别是哪些呢？你能帮助她吧。

【输入格式】

第一行，一个整数n.

第二行，n个整数，代表ai.

【输出格式】

第一行两个整数，num和val,表示价值最大的特殊区间的个数以及最大价值。

第二行num个整数，按升序输出每个价值最大的特殊区间的L.

【样例输入1】

5

4 6 9 3 6

【样例输出1】

1 3

2

【样例输入2】

5

2 3 5 7 11

【样例输出2】

5 0

1 2 3 4 5

【数据范围】

30%: 1 <= n <= 30 , 1 <= ai <= 32.

60%: 1 <= n <= 3000 , 1 <= ai <= 1024.

80%: 1 <= n <= 300000 , 1 <= ai <= 1048576.

100%: 1 <= n <= 500000 , 1 <= ai < 2 ^ 31.

【思路】

题不是很难，就是可能一些细节注意不到或者优化想不到

我拿到题后的第一反应是一个数组f[i][j][k]表示从i开始的j位来记录这个区间的最小值和最大公约数

随便举一些例子就不难发现，其实要满足条件的区间，整除的那个数是这个区间最小而且是最大公约数

那么题就简单了，就是求最小值和最大公约数相同的区间，然后找到区间最大的并输出左端点

我们之前定义了一个f[i][j][k]，然后结合一起的知识，我们不难有一个大胆的想法

就是用RMQ来处理这个小小细节，表示为gcdn[i][j]是从i位开始的2^j位这个区间的最大公约数

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 minn[i][j]是从i为开始的2^j位这个区间的最小值

这里一想出来，接下来就是区间的最大长度了。。。这个简单，枚举一下这个长度然后找gcd和min相同的区间

当然，枚举，不存在的，直接二分就行了。。。。另外一提，这题非常容易超时

所以我来提几个细节

1.在RMQ时的外循环，不能循环到int类型的边界，而是要根据n来定义，循环到log₂n次（注意不要搞成根号n了），j是代表2^j次方

2.在表示2^j次方不要直接用函数pow，要用位运算，位运算的时间消耗更小。。。

只有这样才不会超时

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #define maxn 500005
 using namespace std;
 int gcdn[maxn][],minn[maxn][],n,m,a[maxn];
 int gcd(int a,int b){
     if(b==)return a;
     else return gcd(b,a%b);
 }
 void rmq(){
     for(int j=;j<=(int)log2(n);j++){
         for(int i=;i<=n;i++){
             int new_=pow(2.0,j)+i-;
             if(new_>n)continue;
             minn[i][j]=min(minn[i][j-],minn[i+ (<<(j-))][j-]);
             gcdn[i][j]=gcd(gcdn[i][j-],gcdn[i+ (<<(j-))][j-]);
         }
     }
 }
 int ans[maxn],num,val,len;
 void change(int l,int r,int n){
     if(l==r)return;
     int mid=(l+r)>>;
     int j=log2(mid+);
     for(int i=;i<=n-mid;i++){
         int a1,a2;
         a1=min(minn[i][j],minn[i+mid- (<<j) + ][j]);
         a2=gcd(gcdn[i][j],gcdn[i+mid- (<<j) + ][j]);
         if(a1==a2){
             num++;ans[num]=i;
         }
     }
     if(num==)change(l,mid,n);
     else{
         val=mid;len=num;
         num=;change(mid+,r,n);
     }
 }
 int main(){
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++){
         scanf("%d",&a[i]);
         gcdn[i][]=minn[i][]=a[i];
     }
     rmq();
     change(,n-,n);
     printf("%d %d\n",len,val);
     for(int i=;i<=len;i++){
         printf("%d ",ans[i]);
     }
 } 

总结：

1.对于区间的最值一类问题，可以用RMQ解决

2.pow函数的使用要注意pow出来的值是浮点数，而且pow函数里的第一个数必须是浮点数，比如要求2^j，就是pow( 2.0, j )，当然这个细节是因为cena里会编译错误，自己是不会报错的

3.能用位运算就尽量用位运算，特别是循环中会多次执行一个语句，换成位运算后可以大大省下时间

4.注意区分一下log2和sqrt，两个出来的值不同，比如log2(64)=6,sqrt(64)=8，初中数学，相信就不用解释了