一文入门：XGBoost与手推二阶导

作者前言

在2020年还在整理XGB的算法，其实已经有点过时了。。不过，主要是为了学习算法嘛。现在的大数据竞赛，XGB基本上已经全面被LGB模型取代了，这里主要是学习一下Boost算法。之前已经在其他博文中介绍了Adaboost算法和Gradient-boost算法，这篇文章讲解一下XGBoost。

Adaboost和XGBoost无关，但是Gradient-boost与XGBoost有一定关系。

一文搞懂：Adaboost及手推算法案例

一文读懂：GBDT梯度提升

树模型概述

XGB就是Extreme Gradient Boosting极限梯度提升模型。XGB简单的说是一组分类和回归树（CART）的组合。跟GBDT和Adaboost都有异曲同工之处。

【CART=classification adn regression trees】

这里对于一个决策树，如何分裂，如何选择最优的分割点，其实就是一个搜索的过程。搜索怎么分裂，才能让目标函数最小。目标函数如下：

\(Obj = Loss + \Omega\)

\(Obj\)就是我们要最小化的优化函数，\(Loss\)就是这个CART模型的预测结果和真实值得损失。\(\Omega\)就是这个CART模型的复杂度,类似神经网络中的正则项。

【上面的公式就是一个抽象的概念。我们要知道的是：CART树模型即要求预测尽可能准确，又要求树模型不能过于复杂。】

对于回归问题，我们可以用均方差来作为Loss：

\(Loss=\sum_i{(y_i-\hat{y_i})^2}\)

对于分类问题，用交叉熵是非常常见的,这里用二值交叉熵作为例子：

\(Loss = \sum_i{(y_ilog(\hat{y_i})+(1-y_i)log(\hat{y_i}))}\)

总之，这个Loss就是衡量模型预测准确度的损失。

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下面看一下如何计算这个模型复杂度\(\Omega\)吧。

\(\Omega = \gamma T+\frac{1}{2} \lambda \sum^T_j{w_j}^2\)

\(T\)表示叶子节点的数量，\(w_j\)表示每个叶子节点上的权重（与叶子节点的样本数量成正比）。

【这里有点麻烦的在于，\(w_j\)是与每个叶子节点的样本数量成正比，但是并非是样本数量。这个\(w_j\)的求取，要依靠与对整个目标函数求导数，然后找到每个叶子节点的权重值\(w_j\)。】

XGB vs GBDT

其实说了这么多，感觉XGB和GDBT好像区别不大啊？下面整理一下网上有的说法，再加上自己的理解。有错误请指出评论，谢谢！

区别1：自带正则项

GDBT中，只是让新的弱分类器来拟合负梯度，那拟合多少棵树才算好呢？不知道。XGB的优化函数中，有一个\(\Omega\)复杂度。这个复杂度不是某一课CART的复杂度，而是XGB中所有CART的总复杂度。可想而知，每多一颗CART，这个复杂度就会增加他的惩罚力度，当损失下降小于复杂度上升的时候，XGB就停止了。

区别2：有二阶导数信息

GBDT中新的CART拟合的是负梯度，也就是一阶导数。而在XGB会考虑二阶导数的信息。

这里简单推导一下XGB如何用上二阶导数的信息的：

1. 之前我们得到了XGB的优化函数：
   
   \(Obj = Loss + \Omega\)

2. 然后我们把Loss和Omega写的更具体一点：
   
   \(Obj = \sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}+\sum_j^t{\Omega(cart_j)}\)

   • \(\hat{y_i^t}\)表示总共有t个CART弱分类器，然后t个弱分类器给出样本i的估计值就。
   • \(y_i\)第i个样本的真实值；
   • \(\Omega(cart_j)\)第j个CART模型的复杂度。

3. 我们现在要求取第t个CART模型的优化函数，所以目前我们只是知道前面t-1的模型。所以我们得到：
   
   \(\hat{y}_i^t = \hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i)\)
   
   t个CART模型的预测，等于前面t-1个CART模型的预测加上第t个模型的预测。

4. 所以可以得到：
   
   \(\sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}=\sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))}\)
   
   这里考虑一下特勒展开：
   
   \(f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x + \frac{1}{2} f''(x)\Delta x^2\)

5. 如何把泰勒公式带入呢？
   
   \({Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}\)中的\(y_i\)其实就是常数，不是变量
   
   所以其实这个是可以看成\(Loss(\hat{y}_i^t)\),也就是:
   
   \(Loss(\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))\)

6. 带入泰勒公式，把\(f_t(x_i)\)看成\(\Delta x\)：
   
   \(Loss(\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))=Loss(\hat{y}_i^{t-1})+Loss'(\hat{y}_i^{t-1})f_t(x_i)+\frac{1}{2}Loss''(\hat{y}_i^{t-1})(f_t(x_i))^2\)

   • 在很多的文章中，会用\(g_i=Loss'(\hat{y}_i^{t-1})\),以及\(h_i=Loss''(\hat{y}_i^{t-1})\)来表示函数的一阶导数和二阶导数。

7. 把泰勒展开的东西带回到最开始的优化函数中，删除掉常数项\(Loss(\hat{y}_i^{t-1})\)(这个与第t个CART模型无关呀)以及前面t-1个模型的复杂度，可以得到第t个CART的优化函数：
   
   \(Obj^t \approx \sum_i^n{[g_i f_t(x_i)+\frac{1}{2}h_i(f_t(x_i))^2}]+{\Omega(cart_t)}\)

【所以XGB用到了二阶导数的信息，而GBDT只用了一阶的梯度】

区别3：列抽样

XGB借鉴了随机森林的做法，不仅仅支持样本抽样，还支持特征抽样（列抽样），不仅可以降低过拟合，还可以减少计算。

区别4：缺失值

XGB可以自适应的处理样本中的缺失值。如何处理的这里就不再讲述。

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