bsgs algorithm

ax≡b(mod n)

大步小步算法,这个算法有一定的局限性,只有当gcd(a,m)=1时才可以用

原理

此处讨论n为素数的时候。

ax≡b(mod n)(n为素数)

由费马小定理可知,只需要验证0,1,2...n-1是不是解即可,因为an-1 = 1mod(n)

算法过程

1、首先求出a0,a1,a2,...,am-1 模上n的值是否为b,存储在e[i]中,求出am的逆a-m

2、下面考虑am,am+1,...,a2m-1 模上n的值是否为b

此时不用一一检查,如果当中有解,相当于存在e[i],使得e[i] * am = b mod(n)

两边乘上a-m,e[i] = b * a-m mod(n),只需要检查存不存在这样的e[i]即可

3、同理,可以递推检查出a2m - a3m-1中解的情况

为了方便,把e[i]存储在map<int, int>x中,x[j]表示满足ei =j 的最小下标(因为可能有多个值相同)

 map<ll, int>x;
ll log_mod(ll a, ll b, ll n)//n为素数
{
//if(b >= n)return -1;
a %= n;b %= n;//注意题目,如果b >= n是不存在解的
if(a == )
{
if(b == )return ;if(b == 1)return 0;
else return -;
}
ll m = ceil(sqrt(n + 0.5));
ll v = pow(a, n - - m, n);
x.clear();
x[] = m;
ll e = ;
for(int i = ; i < m; i++)//计算a的i次方mod n,并存下来
{
e = e * a % n;
if(!x[e])x[e] = i;
}
for(int i = ; i < m; i++)//计算a^(im), a^(im+1),...,a^(im+m-1)
{
int num = x[b];
if(num)return i * m + (num == m ? : num);
b = b * v % n;
}
return -;
}

扩展:

当n不为素数的时候,如何求解ax≡b(mod n) ?

转化成gcd(a, n) = 1即可

如何转化呢?

利用公式:ax≡b(mod n)⇔ax/d ≡ b/d (mod n/d),d=gcd(a,n)(这里是a乘上x,上述求解方程为ax

每次用一个a和m和b消去gcd(a, n),消δ次,每次n /= g, b /= g,迭代更新下一个g,直到g=1

最后ax变成了ax - δ *a', 方程变成:ax - δ *a' = b' (mod n')     这里a' b' n'都是消因子之后的值

满足:a' * g = aδ  b' * g = b  n' * g = n    g = gcd(aδ, n)

如果某一步g不整除b',直接返回-1

如果某一步b' = a',假设此时消因子次数达到cnt次,那就返回cnt

  因为消因子次数cnt次等价于

  原方程:ax-cntacnt = b (mod n)

  消因子后:ax-cnta' = b' (mod n')

  若此时b' = a' 那么等式就可以直接消去a' b',得到:ax-cnt = 1 (mod n),解就是cnt

下面求解:ax - δ *a' = b' (mod n')  

可以求出a'的逆元,然后乘过去,用上述的大步小步算法求解

下面介绍一个技巧不用求逆元。

先把上述式子写成ax * tmp = b (mod n)   求出x之后加上δ就是解。

设m = sqrt(n +0.5), x = k * m - q (1 <= k <= m, q <= m)

上式可写成tmp * a k*m-q = b (mod n)

等价于  tmp * a k*m = b * aq(mod n)

可以从1-m枚举k,每次求出tmp * a k*m 判断是不是存在b*aq

最开始的大步小步算法也可以这样写

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
ll ans = ;
a %= m;
while(b)
{
if(b & )ans = (ans % m) * (a % m) % m;
b /= ;
a = (a % m) * (a % m) % m;
}
ans %= m;
return ans;
}
ll ext_log_mod(ll a, ll b, ll n)
{
if(b >= n)return -;//一些特殊情况的判断
a %= n;
if(b == )return ;
//if(n == 1)return -1;
ll cnt = ;//记录消因子次数
ll tmp = ;//存当前a'的值
for(ll g = __gcd(a, n); g != ; g = __gcd(a, n))
{
if(b % g)return -;//不能整除
b /= g; n /= g; tmp = tmp * a / g % n;
cnt++;
if(b == tmp)return cnt;
} ll m = sqrt(n + 0.5);
ll t = b;
map<ll, ll>Map;//记录b * a ^ i, i
Map[b] = ;
for(int i = ; i <= m; i++)
{
b = b * a % n;
Map[b] = i;
}
a = pow(a, m, n);
for(int k = ; k <= m; k++)//枚举k
{
tmp = tmp * a % n;//求出tmp*a^(k*m)
if(Map.count(tmp))return k * m - Map[tmp] + cnt;
}
return -;
}
int main()
{
ll a, b, p;
while(scanf("%lld%lld%lld", &a, &p, &b) != EOF)
{
ll ans = ext_log_mod(a, b, p);
if(ans == -)printf("Orz,I can’t find D!\n");
else printf("%lld\n", ans);
}
return ;
}

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