树上统计treecnt(dsu on tree 并查集 正难则反)

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dalao们怎么都写的线段树合并啊。。

dsu跑的好慢。

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\(Description\)

给定一棵\(n(n\leq 10^5)\)个点的树。

定义\(Tree[L,R]\)表示为了使得\(L\sim R\)号点两两连通，最少需要选择的边的数量。

求$$\sum_{l=1}^n\sum_{r=l}nTree[l,r]$$

\(Solution\)

枚举每条边，计算它的贡献。

那么我们要判断有多少连续区间的点跨过这条边，并不好算，反过来去求在这条边的两侧分别有多少个连续区间。

那么显然有\(O(n^2)\)的做法，即对每条边DFS它的两侧，枚举一下每一侧的连续区间。

我们还可以DFS这棵树，对于每个点我们需要计算它子树内和子树外的连续区间数。

对于子树内的点，并查集显然是可以维护的（每次合并相邻点成为一个连续区间时新产生的连续区间数可算，就是两个集合\(size\)的乘积）。

对于子树外的点怎么算呢。我们可以先假设子树外为\(1,2,...,n\)，且有这些区间。我们每次在子树中加入点时，就把它从子树外的集合的点中删掉，并计算子树外少的区间数。

我们发现不需要\(n\)个元素的集合，也不需要这样删。在一个初始只有\(0\)和\(n+1\)的空集合里，每次加入子树内的点，然后计算，也是等价的。

于是我们需要对每个子树合并并查集及处理set。

可以用dsu on tree，每次先处理完轻儿子的子树，每次处理完都清空那棵子树的贡献/状态（并查集、set）。最后处理重儿子所在子树，并保留其状态。

处理完这整棵子树后（也就是算完该边答案后），再把子树内其它未加入的轻子树给加入并查集、set。

dsu的复杂度是\(O(n\log n)\)的，再套上别的，复杂度为\(O(n\log^2n)\)。

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#include <set>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 150000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
#define Calc(x) (1ll*(x)*(x-1)>>1ll)//区间个数
typedef long long LL;
const int N=1e5+5;

int n,Enum,H[N],nxt[N<<1],to[N<<1],fa[N],sz[N],son[N],Fa[N],size[N];
bool vis[N];//计算子树内的连续区间（是否子树内已存在相邻的）
LL Ans,sum1,sum2;
std::set<int> st;
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
inline void AE(int u,int v)
{
	to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum;
	to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum;
}
void DFS1(int x)
{
	int mx=0; sz[x]=1;
	for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
		if((v=to[i])!=fa[x])
		{
			fa[v]=x, DFS1(v), sz[x]+=sz[v];
			if(sz[v]>mx) mx=sz[v], son[x]=v;
		}
}
int Find(int x)
{
	return x==Fa[x]?x:Fa[x]=Find(Fa[x]);
}
void Upd(int x)
{
	st.insert(x);//我怎么记得有返回值(iterator)来...
	std::set<int>::iterator it=st.find(x),pre=it,nxt=++it;
	--pre;
	sum2-=Calc(*nxt-*pre-1);//子树外以前的连续区间被分割
	sum2+=Calc(x-*pre-1)+Calc(*nxt-x-1);

	vis[x]=1;
	if(vis[x-1])
	{
		int r1=Find(x-1),r2=Find(x);//它们之前显然不会在一个集合啊（它们之间只会算一次，要么是加x-1，以前有x；要么是加x，以前有x-1）。
		sum1+=1ll*size[r1]*size[r2];
		Fa[r1]=r2, size[r2]+=size[r1];
	}
	if(vis[x+1])
	{
		int r1=Find(x+1),r2=Find(x);
		sum1+=1ll*size[r1]*size[r2];
		Fa[r1]=r2, size[r2]+=size[r1];
	}
}
void Clear(int x)
{
	Fa[x]=x, size[x]=1, vis[x]=0;
	for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
		if(to[i]!=fa[x]) Clear(to[i]);
}
void Update(int x)
{
	Upd(x);
	for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
		if(to[i]!=fa[x]) Update(to[i]);
}
void DFS2(int x)
{
	for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
		if((v=to[i])!=fa[x]&&v!=son[x])
		{
			DFS2(v), Clear(v);
			st.clear(), st.insert(0), st.insert(n+1);
			sum1=0, sum2=Calc(n);//还是在DFS完子树后就初始化吧
		}
	if(son[x]) DFS2(son[x]);

	for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
		if((v=to[i])!=fa[x]&&v!=son[x]) Update(v);

	Upd(x);
	Ans+=Calc(n)-sum1-sum2;
}

int main()
{
	freopen("treecnt.in","r",stdin);
	freopen("treecnt.out","w",stdout);

	n=read();
	for(int i=1; i<n; ++i) AE(read(),read());
	for(int i=1; i<=n; ++i) Fa[i]=i,size[i]=1;//!
	st.insert(0), st.insert(n+1);//边界.
	sum1=0, sum2=Calc(n), DFS1(1), DFS2(1), printf("%lld\n",Ans);

	return 0;
}

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某一种\(O(n^2)\)做法：（见Subtask1()）

写了个双链表。。心疼zz的自己。。

#include <set>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=1e5+5,INF=0x3f3f3f3f;

int dgr[N],Enum,H[N],nxt[N<<1],to[N<<1],fa[N],dep[N],sz[N],son[N],top[N],dfn[N],ref[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
inline void AE(int u,int v)
{
//	++dgr[u], ++dgr[v];
	to[++Enum]=v, nxt[Enum]=H[u], H[u]=Enum;
	to[++Enum]=u, nxt[Enum]=H[v], H[v]=Enum;
}
inline int LCA(int u,int v)
{
//	printf("LCA(%d,%d)\n",u,v);
	while(top[u]!=top[v]) dep[top[u]]>dep[top[v]]?u=fa[top[u]]:v=fa[top[v]];
	return dep[u]>dep[v]?v:u;
}
inline int Dis(int u,int v)
{
//	printf("(%d,%d) Subd:dep[%d]=%d!\n",u,v,LCA(u,v),dep[LCA(u,v)]);
	return dep[u]+dep[v]-(dep[LCA(u,v)]<<1);
}
void DFS1(int x)
{
	int mx=0; sz[x]=1;
	for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])
		if((v=to[i])!=fa[x])
		{
			fa[v]=x, dep[v]=dep[x]+1, DFS1(v), sz[x]+=sz[v];
			if(sz[v]>mx) mx=sz[v], son[x]=v;
		}
}
void DFS2(int x,int tp)
{
	static int Index=0;

	top[x]=tp, dfn[x]=++Index;
	if(son[x])
	{
		DFS2(son[x],tp);
		for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
			if(to[i]!=fa[x]&&to[i]!=son[x]) DFS2(to[i],to[i]);
	}
}
inline bool cmp_dfn(int i,int j)
{
	return dfn[i]<dfn[j];
}
void Output(int *l,int *r,int n)
{
	printf("\nOutput the list:\n%d",0);
	for(int p=r[0]; p!=n+1; p=r[p]) printf("->%d(%d)",p,l[p]); puts("\n");
}
void Subtask0(int n)
{
	const int N=305;
	static int A[N];

	LL ans=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		int t=1; A[1]=i;
		for(int j=i+1; j<=n; ++j)
		{
			A[++t]=j, std::sort(A+1,A+1+t,cmp_dfn);
			for(int k=1; k<t; ++k) ans+=Dis(A[k],A[k+1]);
			ans+=Dis(A[t],A[1]);
		}
	}
	printf("%I64d\n",ans>>1ll);
}
void Subtask1(int n)
{
	const int N=3005;
	static int A[N],SL[N],SR[N],L[N],R[N],id[N],tl[N],tr[N];

	LL ans=0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) ans+=1ll*(1ll*(i-1)*(n-i+1)+n-i)*dep[i],id[i]=i;
//	printf("pre_ans=%I64d\n\n",ans);

	std::sort(id+1,id+1+n,cmp_dfn);
	SR[0]=id[1], SL[n+1]=id[n], id[n+1]=n+1;
	for(int i=1; i<=n; ++i) SL[id[i]]=id[i-1], SR[id[i]]=id[i+1];

//	for(int i=1; i<=n; ++i) printf("dfn[%d]=%d\n",i,dfn[i]); puts("");
//	Output(SL,SR,n);

	for(int i=1; i<n; ++i)
	{
		memset(tl,0,sizeof tl), memset(tr,0,sizeof tr);
		memcpy(L,SL,sizeof SL), memcpy(R,SR,sizeof SR);
//		Output(L,R,n);

		for(int j=n,T=1,l,r; j>i; --j,++T)
		{
			int a,b;
			if((l=L[j])==0) a=j, b=L[n+1];
			else a=j, b=l;
			int tmp=std::min(T-tr[b],T-tl[a]);
			ans-=1ll*tmp*dep[LCA(a,b)], tr[b]=T;

			if((r=R[j])==n+1) b=j, a=R[0];
			else b=j, a=r;
			tmp=std::min(T-tr[b],T-tl[a]);
			ans-=1ll*tmp*dep[LCA(a,b)], tl[a]=T;

			R[l]=r, L[r]=l;

//			if((l=L[j])==0) ans-=dep[LCA(j,L[n+1])], printf("Subd:dep[%d]=%d!\n",LCA(j,L[n+1]),dep[LCA(j,L[n+1])]);
//			else ans-=dep[LCA(j,l)], printf("Subd:dep[%d]=%d!\n",LCA(j,l),dep[LCA(j,l)]);
//			if((r=R[j])==n+1) ans-=dep[LCA(j,R[0])], printf("Subd:dep[%d]=%d!\n",LCA(j,R[0]),dep[LCA(j,R[0])]);
//			else ans-=dep[LCA(j,r)], printf("Subd:dep[%d]=%d!\n",LCA(j,r),dep[LCA(j,r)]);
//			R[l]=r, L[r]=l;
		}
		SR[SL[i]]=SR[i], SL[SR[i]]=SL[i];
	}
	printf("%I64d\n",ans);
}
namespace Subtask2
{
//	struct BIT
//	{
//		#define lb(x) (x&-x)
//		int n,mn[N],mx[N];
//
//		void Init(int nn) {n=nn; memset(mn,0x3f,sizeof mn), memset(mx,0,sizeof mx);}
//		void Modify_Max(int p,int v)
//		{
//			for(; p<=n; p+=lb(p)) mx[p]=std::max(mx[p],v);
//		}
//		void Modify_Min(int p,int v)
//		{
//			for(; p<=n; p+=lb(p)) mn[p]=std::min(mn[p],v);
//		}
//		int Query_Max(int p)
//		{
//			int res=0;
//			for(; p; p^=lb(p)) res=std::max(res,mx[p]);
//			return res;
//		}
//		int Query_Min(int p)
//		{
//			int res=INF;
//			for(; p; p^=lb(p)) res=std::min(res,mn[p]);
//			return res;
//		}
//	}Tp,Ts;
//	int pos[N],ref[N];
//
//	void DFS3(int x,int f,int t)
//	{
////		pos[x]=t, ref[t]=x;
//		pos[t]=x;
//		for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
//			if(to[i]!=f) DFS3(to[i],x,t+1);
//	}
//	bool Main(int n)
//	{
//		for(int i=1; i<=n; ++i) if(dgr[i]>2) return 0;
//		for(int i=1; i<=n; ++i) if(dgr[i]==1) {DFS3(i,i,1); break;}
//
//		LL ans=0;
//		Tp.Init(n), Ts.Init(n);
//		for(int i=n; i; --i)
//		{
//			int p=pos[i],l=Tp.Query_Max(p)+1,r=Ts.Query_Min(n-p+1)-1;
////			if(l==0+1) l=1;
//			if(r==INF-1) r=n;
//			ans+=1ll*i*(p-l+1)*(r-p+1);
//			Tp.Modify_Max(p,p), Ts.Modify_Min(n-p+1,p);
//		}
//
//		Tp.Init(n), Ts.Init(n);
//		for(int i=1; i<=n; ++i)
//		{
//			int p=pos[i],l=Tp.Query_Max(p)+1,r=Ts.Query_Min(n-p+1)-1;
////			if(l==0+1) l=1;
//			if(r==INF-1) r=n;
//			ans-=1ll*i*(p-l+1)*(r-p+1);
//			Tp.Modify_Max(p,p), Ts.Modify_Min(n-p+1,p);
//		}
//		printf("%I64d\n",ans);
//		return 1;
//	}
}

int main()
{
	freopen("treecnt.in","r",stdin);
	freopen("treecnt.out","w",stdout);

	int n=read();
	for(int i=1; i<n; ++i) AE(read(),read());

//	if(n>3000 && Subtask2::Main(n)) return 0;

	DFS1(1), DFS2(1,1);
//	Subtask0(n); puts("");
	if(n<=300) Subtask0(n);
	else if(n<=3000||1) Subtask1(n);

	return 0;
}