Luogu3163 [CQOI2014]危桥

题意

有$n$个点和$m$条边,有些边可以无限次数的走,有些边这辈子只能走两次,给定两个起点和终点$a_1 --> a_2$(起点 --> 终点)和$b_1 --> b_2$(起点 --> 终点),询问是否可以让$a_1 --> a_2$往返$a_n$次,让$b_1 --> b_2$往返$b_n$次

题解

思路

思路还是比较好想的,就是原图连双向边,然后炒鸡源汇连$a_n*2$和$b_n*2$判断满流是否为$(a_n+b_n)*2$。

但是这样可以吗,不可以。

解决方案是把$b_1 和 b_2$反过来跑。

为什么呢?因为有可能$a_1$的流量可能会跑到$b_2$处。

于是下面给出说明。

反正就会发生这么一种情况:

我们发现这张图的流量是满了,但是中间旁边就发现流量根本忽略了危桥,而且$a_1$的流量跑到了$b_2$那里。

所以我们直接把第二条路反过来,就是这样

然后发现就不会出现那种情况

一个细节

有人会说“如果危桥正向边反向边都有2的流量呢”?

然而我们证明一下发现这是不可能的。

证明:

如果出现了正向边反向边都有2的流量(或者一个为2一个为1),那么就说明$a_1 --> a_2$和$b_1 --> b_2$在危桥的路径上相反。也就是提取他们的路径刚好相反。

那么这种情况其实就是图1的情况,$a_1 --> a_2$要经过危桥的正向边$b_1 --> b_2$要经过危桥的反向边,然后就会发现$a_1$和$b_2$连在一起了,然后这个时候最小割应该是靠近源点的$(a_n+b_n)*2$而不是中间的$INF+INF+2*2$,而且中间根本不会有流量!所以这种情况下不会去流中间的边(根据最小割)。

代码如下:

然而由于数组没开足够大挂了半天......

 #include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <iostream> //User's Lib using namespace std; // #define DEBUG_PORT
#define DEBUG #ifdef ONLINE_JUDGE
#undef DEBUG_PORT
#undef DEBUG
#endif #ifdef DEBUG_PORT
#if __cplusplus >= 201103L
#ifdef DEBUG
template<typename T>
extern inline void Debug(T tar){
cerr << tar << endl;
}
template<typename Head, typename T, typename... Tail>
extern inline void Debug(Head head, T mid, Tail... tail){
cerr << head << ' ';
Debug(mid, tail...);
}
#else
# pragma GCC diagnostic push
# pragma GCC diagnostic ignored "-Wunused-parameter"
template<typename Head, typename T, typename... Tail>
extern inline void Debug(Head head, T mid, Tail... tail){
return ;
}
# pragma GCC diagnostic pop
# pragma message "Warning : pragma used"
#endif
#else
# pragma message "Warning : C++11 Not Use"
#ifdef DEBUG
template <typename T>
extern inline void Debug(T tar){
cerr << tar << endl;
}
#else
# pragma GCC diagnostic push
# pragma GCC diagnostic ignored "-Wunused-parameter"
template <typename T>
extern inline void Debug(T tar){
return ;
}
# pragma GCC diagnostic pop
# pragma message "Warning : pragma used"
#endif
#endif
#else
# pragma GCC diagnostic push
# pragma GCC diagnostic ignored "-Wunused-parameter"
template<typename Head, typename T, typename... Tail>
extern inline void Debug(Head head, T mid, Tail... tail){
return ;
}
template <typename T>
extern inline void Debug(T tar){
return ;
}
# pragma GCC diagnostic pop
# pragma message "Warning : pragma used"
#endif char buf[], *pc = buf; extern inline void Main_Init(){
static bool INITED = false;
if(INITED) fclose(stdin), fclose(stdout);
else {
fread(buf, , , stdin);
INITED = true;
}
} static inline int read(){
int num = ;
char c, sf = ;
while(isspace(c = *pc++));
if(c == ) sf = -, c = *pc ++;
while(num = num * + c - , isdigit(c = *pc++));
return num * sf;
} namespace LKF{
template <typename T>
extern inline T abs(T tar){
return tar < ? -tar : tar;
}
template <typename T>
extern inline void swap(T &a, T &b){
T t = a;
a = b;
b = t;
}
template <typename T>
extern inline void upmax(T &x, const T &y){
if(x < y) x = y;
}
template <typename T>
extern inline void upmin(T &x, const T &y){
if(x > y) x = y;
}
template <typename T>
extern inline T max(T a, T b){
return a > b ? a : b;
}
template <typename T>
extern inline T min(T a, T b){
return a < b ? a : b;
}
} //Source Code /*
把原图往返看成经过两次
所以原图中起点和终点只有一个方向的流量这样子
然后危桥建单向边就可以了
同时为了防止出现什么起点和起点间的交易
所以跑一次之后再交换跑一次即可
证明博客:https://www.cnblogs.com/CreeperLKF/p/9176605.html
*/ const int MAXK = ;///WTF...MAXN = 50炸了
const int MAXN = ;
const int MAXM = ;
const int INF = 0x3f3f3f3f; int n, m, s = MAXN - , t = s + ; struct Queue{
int s, t;
int q[MAXN];
Queue(){s = , t = ;}
inline void clear(){
s = , t = ;
}
inline bool empty(){
return s > t;
}
inline int size(){
return t - s + ;
}
inline void push(int tar){
q[++ t] = tar;
}
inline int front(){
return q[s];
}
inline void pop(){
s ++;
}
}; struct Graph{
int tot;
int beginx[MAXN], endx[MAXM], nxt[MAXM], res[MAXM];
Graph(){
tot = ;
}
inline void Init(){
tot = ;
memset(beginx, , sizeof(beginx));
}
inline void add_edge(int u, int v, int r){
// Debug(u, "->", v, "[label = \"", r, "\"]");//Debug...
nxt[++ tot] = beginx[u], beginx[u] = tot, endx[tot] = v, res[tot] = r;
nxt[++ tot] = beginx[v], beginx[v] = tot, endx[tot] = u, res[tot] = ;
}
}; struct ISap{
Graph g;
Queue mession;
int max_f;
int cur[MAXN], d[MAXN], num[MAXN], pre[MAXN];
inline void bfs(){
mession.clear();
mession.push(t);
memset(d, , sizeof(d));
memset(num, , sizeof(num));
d[t] = ;
int u, v;
while(!mession.empty()){
u = mession.front();
mession.pop();
num[d[u]] ++;
for(int i = g.beginx[u]; i; i = g.nxt[i]){
v = g.endx[i];
if(!d[v] && g.res[i ^ ]){
d[v] = d[u] + ;
mession.push(v);
}
}
}
}
inline int dfs(int u, int now_f){
if(u == t) return now_f;
int ret_f = ;
for(int &i = cur[u]; i; i = g.nxt[i]){
int v = g.endx[i];
if(g.res[i] && d[u] == d[v] + ){
int ret = dfs(v, min(g.res[i], now_f));
ret_f += ret, now_f -= ret;
g.res[i] -= ret, g.res[i ^ ] += ret;
if(d[s] >= MAXN - || !now_f) return ret_f;
}
}
if(-- num[d[u]] == ) d[s] = MAXN - ;
++ num[++ d[u]];
cur[u] = g.beginx[u];
return ret_f;
}
inline int ISAP(){
bfs();
max_f = ;
memcpy(cur, g.beginx, sizeof(cur));
while(d[s] < MAXN - )
max_f += dfs(s, INF);
return max_f;
}
}isap; int a1, a2, an, b1, b2, bn;
int matrix[MAXK][MAXK]; int main(){
Main_Init();
while((n = read()) > ){
a1 = read() + , a2 = read() + , an = read() << ;
b1 = read() + , b2 = read() + , bn = read() << ;
memset(matrix, , sizeof(matrix));
for(int i = ; i <= n; i++){
while(isspace(*pc ++));
pc --;
for(int j = ; j <= n; j++){
char c = *pc ++;
switch(c){
case 'O': matrix[i][j] = ; break;
case 'N': matrix[i][j] = ; break;
}
}
} isap.g.Init();
isap.g.add_edge(s, a1, an), isap.g.add_edge(a2, t, an);
isap.g.add_edge(s, b1, bn), isap.g.add_edge(b2, t, bn);
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= n; j++)
if(matrix[i][j])
isap.g.add_edge(i, j, matrix[i][j] & ? : INF);
if(isap.ISAP() != an + bn){
puts("No");
continue;
} isap.g.Init();
isap.g.add_edge(s, a1, an), isap.g.add_edge(a2, t, an);
isap.g.add_edge(s, b2, bn), isap.g.add_edge(b1, t, bn);
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= n; j++)
if(matrix[i][j])
isap.g.add_edge(i, j, matrix[i][j] & ? : INF);
puts(isap.ISAP() == an + bn ? "Yes" : "No");//大小写......
}
Main_Init();
return ;
}

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