luogu3807 【模板】 卢卡斯定理

题目大意

对于一个很大的$n,m,p$如何求$C_{n+m}^m\mod p$？

Lucas定理

若$n_i,m_i$分别是$n,m$在$p$进制下第$i$位的数字，则有

$$C_n^m\mod p=\prod_{i=0}^{\log_p m}C_{n_i}^{m_i}\mod p$$

求法

按照定理式一个一个求组合数即可。

组合数并不用批量求。故预处理出各项阶乘值，然后运用

$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

，因为取模P，运用乘法逆元、快速乘工具求解即可。

注意事项

• MAX_N应当为n,m的范围*2，因为n+m。
• 求组合数时，若m>n，返回0。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
#define inv(a) Inv(a, P)
#define mult(a, b) Mult(a, b, P)

const int MAX_N = 200010;
ll Fact[MAX_N];
ll P;

void GetFact(int n, ll* Fact, ll p)
{
	Fact[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		Fact[i] = Fact[i - 1] % p * i % p;
}

ll Exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	ll d = Exgcd(b, a%b, x, y);
	ll tx = x;
	x = y;
	y = tx - a / b * y;
	return d;
}

ll Inv(ll a, ll p)
{
	ll x, y;
	Exgcd(a, p, x, y);
	return (x % p + p) % p;
}

ll Mult(ll a, ll b, ll p)
{
	ll ans = 0;
	while (b)
	{
		if (1 & b)
			ans = (ans + a) % p;
		a = (a + a) % p;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

ll Comb(ll n, ll m)
{
	if (m > n)
		return 0;
	return mult(Fact[n], inv(mult(Fact[m], Fact[n - m])));
}

ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
	if (m == 0)
		return 1;
	return Comb(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}

int main()
{
	int caseCnt;
	scanf("%d", &caseCnt);
	while (caseCnt--)
	{
		ll n, m;
		scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &P);
		GetFact(n + m, Fact, P);
		printf("%lld\n", Lucas(n + m, m, P));
	}
	return 0;
}