【hdu 4315】Climbing the Hill

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Problem Description

Alice and Bob are playing a game called “Climbing the Hill”. The game board consists of cells arranged vertically, as the figure below, while the top cell indicates the top of hill. There are several persons at different cells, and there is one special people, that is, the king. Two persons can’t occupy the same cell, except the hilltop.

At one move, the player can choose any person, who is not at the hilltop, to climb up any number of cells. But the person can’t jump over another one which is

above him. Alice and Bob move the persons alternatively, and the player who move the king to the hilltop will win.

Alice always move first. Assume they play optimally. Who will win the game?

Input

There are several test cases. The first line of each test case contains two integers N and k (1 <= N <= 1000, 1 <= k <= N), indicating that there are N persons on the

hill, and the king is the k-th nearest to the top. N different positive integers followed in the second line, indicating the positions of all persons. (The hilltop is No.0 cell, the cell below is No.1, and so on.) These N integers are ordered increasingly, more than 0 and less than 100000.

Output

If Alice can win, output “Alice”. If not, output “Bob”.

Sample Input

3 3

1 2 4

2 1

100 200

Sample Output

Bob

Alice

Hint

The figure illustrates the first test case. The gray cell indicates the hilltop. The circles indicate the persons, while the red one indicates the king. The first player Alice

can move the person on cell 1 or cell 4 one step up, but it is not allowed to move the person on cell 2.

【题目链接】:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4315

【题解】

/*
    也是个阶梯博弈;
    和上一篇文章类似;
    如果不考虑那个king的话;
    同时把要求改为最后一个把棋子弄到山顶的人赢;
    则方法和上一篇文章一样;
    这里复制一下上篇文章的地址:http://blog.csdn.net/harlow_cheng/article/details/54140110
    写得很详细了;
    稍有不同的是;
    奇数的时候;
    第一个棋子能够往前移动的距离应该是a[1]而不是a[1]-1了;
    因为要弄到山顶(可以看成是坐标为0的地方)而不是弄到坐标为1;
    (以下内容你真的得先看过上面那篇地址里面的文章后才能看得懂);
    接下来考虑那个king存在的情况;
    先不考虑K=1和(N为奇数且K=2的情况);因为有些特殊;
    先考虑普通的;
    不如假设N为偶数(奇数的等下讨论);
    然后对K(这里假设K>2)分类讨论;
    ①K为偶数
        1 5 6 7 9 12 14 17
        ->(1 5) (6 7) (9 12) (14 17)
        这里不妨假设在每个组合的右边都不能移动后,它们排成了一列(显然是可以的);
        ->(1 2) (3 4) (5 6) (7,8)
        这样NIM的各个堆的大小都为0了;
        接下来要进行操作的人肯定是输的;
        因为K为偶数,所以肯定是组合中的右边那个;
        而接下来就要进行操作的人每次显然不可能先把右边的拿到山顶去;
    ②K为奇数
        也是一样
        假设最后变成了这样
        ->(1 2) (3 4) (5 6) (7,8)
        假设k=3
        则我们在对手把1拿到山顶后(只有这个可行操作了);
        把2先不拿到山顶;
        先放到1位置;即
        这里的0表示没有棋子;
        2 0 (3 4) (5 6) (7,8)
        那么接下来对手肯定不能操作2号棋子;
        不然我们肯定能赢;
        如果对手操作3号棋子(往左移动一位);
        则我们把4号也跟着往左移动一位;
        总之跟着它搞;
        最后对方肯定不得不操作那个2号棋子往左移动一位;
        那么我们机会就来了;
        潇洒地把K=3号棋子拿到山顶:)
    接下来考虑N为奇数的情况;
    比如N=3
    3 6 16
    其对应
    (0 3) (6 16)
    注意其对应的NIM堆为3 9
    因为和前一篇文章的不同这里的3可以移到山顶!;
    那么还是一样做NIM游戏;
    最后会变成(假设除了第一个石子外,其他石子的组合的左边没有移动到山顶);
    0 0 1 2
    分类K(注意我们先考虑K>2)
    ①
        K=奇数,比如上例的K=3(这里的3就是上面的2号棋子);
        显然对手必须得把1号棋子往左移动;咱们还是一样能赢;
    ②
        K=偶数的话类似
        这里我们只要把K号棋子所在的组合的前面一个组合的右边那个
        按照上面的讨论
        先放在1号位置;
        这样咱们就总能把K号棋子放到山顶了(当然前面的NIM游戏得是你必赢才行)
    接下来再考虑
    K=1;
    显然K=1的时候先手赢;
    接下来再考虑
    N为奇数,K=2的情况
    这里以上面的
    3 6 16为例子
    按照正常的思路
    (0 3) (6 16)
    我们会算成
    3 9

    那就表示第一个石子在做NIM游戏的过程中是可以往左移动3格的;
    但是,如果这样的话，对手不管怎么样都能直接把K=2号棋子直接移动到
    山顶(因为1号棋子已经被你移动到山顶了，唯一能挡住2号棋子的棋子已经没
    了);
    那么你再进行NIM游戏也没有意义了;
    所以在N为奇数K=2的情况下;
    我们应该把虚构的一个组合的NIM游戏的堆减少1;
    这就表示1号棋子不会在做NIM游戏的过程中直接移动到山顶;
    即
    (0 3) (6 16)
    ->2 9
    这样,假设大家都不把棋子移动到山顶就会最终变为
    0 1 2 3 4
    这样1号棋子总是挡着2号棋子的;
    那么接下来要移动棋子的人就输了;(你没办法躲了肯定输);
    而上面N为奇数,但是K>2,
    所以最终可以变成
    0 0 1 2
    这里比如K=3就没关系了,因为有个1在前面挡着,不会在没做完NIM游戏的时候就
    决定了胜负;(除非你作死自己把1号棋子移动到了山顶),当然如果是你知道了NIM
    游戏的胜负自暴自弃除外。:)
    综上加了一个国王,只是添加几个特殊的判定而已;
    要注意如果最后是要求移动到下标为0的地方，和下标为1的地方,N为奇数的时候;新构造处理的那个组合所代表的NIM堆的大小有差别;
*/

【完整代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define LL long long
#define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define rei(x) scanf("%d",&x)
#define rel(x) scanf("%I64d",&x)

typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,LL> pll;

const int MAXN = 1e3+10;
const int dx[9] = {0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1};
const int dy[9] = {0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
const double pi = acos(-1.0);

int n,k;
int a[MAXN];

int main()
{
    //freopen("F:\\rush.txt","r",stdin);
    while (~scanf("%d%d",&n,&k))
    {
        int temp = 0;
        rep1(i,1,n)
            rei(a[i]);
        if (k==1)
            puts("Alice");
        else
        {
            int ju = n&1;
            if (ju && k==2)
                a[0] = 0;
            else
                a[0] = -1;
            rep1(i,1,n)
                if ((i&1)==ju)
                    temp ^= a[i]-a[i-1]-1;
            if (temp==0)
                puts("Bob");
            else
                puts("Alice");
        }
    }
    return 0;
}