[总结-动态规划]经典DP状态设定和转移方程

马上区域赛，发现DP太弱，赶紧复习补上。

#普通DP

CodeForces-546D Soldier and Number Game 筛法+动态规划

待补

UVALive-8078 Bracket Sequence

问以每个字符为左端点的最长括号序列是多长。（包括尖、花、中小括号）
状态：设dp[i]为从i开始的括号序列最长长度。
转移：以i+1为起点的最长串后边的字符若与左括号匹配，答案是加上这个字符后边的最长串，否则为零。

HDU-1024 Max Sum Plus Plus

给一个序列，找m个不重叠的连续子串，使这几个子串内的元素和的和最大。
即sum(i1, j1)+sum(i2, j2)+...+sum(im, jm)最大
状态：dp[i][j]表示选择第i个元素，当前是第j个子串。
转移：dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[k][j-1])+num[i], (k<=i-1)
优化：

维护max(dp[k][j-1])
滚动数组去掉第一维

HDU-4055 Number String

给一个序列相邻元素各个上升下降情况（'I'上升'D'下降'?'随便），问有几种满足的排列。
例：ID
答：2 (231和132)
状态：dp[i][j]表示满足以j为结尾的，长度为i的排列方案数。
转移：
str[i]=='I': dp[i][j]=sum(dp[i-1][k]) (1<=k<=j-1)
str[i]=='D': dp[i][j]=sum(dp[i-1][k]) (j<=k<=i)
str[i]=='?': dp[i][j]=sum(dp[i-1][k]) (1<=k<=i)

HDU-5009 Paint Pearls

给一串序列，可以任意分割多次序列，每次分割的代价是被分割区间中的数字种数。
求分割区间的最小代价。n<=5e4
例：1 3 3
答：2
状态：dp[i]表示从0到i序列的分割代价。
转移：dp[i]=min(dp[j]+cnt[j-1][i]^2)
优化：双向链表删除元素，优化掉j的选择

UVA-11584 Partitioning by Palindromes

给一个字符串序列，问回文串的最少个数。
例：aaadbccb
答：3（分为aaa, d, bccb三份）
状态：dp[i]表示从0到i的回文串最少个数
转移：dp(i)=min( dp(j-1)+1 | [j, i]是回文串 )
优化：预处理回文串，复杂度降至O(n^2)

#区间DP

HYSBZ-1566 管道取珠

题意相见 https://www.cnblogs.com/tanglizi/p/9489073.html
当面对\sum a^2的时候，把情形分成两种。当这两种情景（状态）相同时，方案数即为a^2。
状态和方程待补。

LightOJ-1422 Halloween Costumes

想参加聚会，每场聚会需要穿对应的衣服。
现在有需要参加的聚会的衣服序列。
对策是可以穿着多件衣服，按聚会不同脱下即可；或者直接在当前衣服上在加一件衣服。
问最少穿过几件衣服。
状态：dp[i][j]为第i到第j聚会的穿衣最小数。
转移：dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j-1]), dp[i][j]=dp[i][j-1]+1

UVA-1331 Minimax Triangulation

三角剖分系列。
给一个任意多边形，把它分为多个三角形。
求某方案中最大的三角形是各方案中最小的面积的三角形面积。
状态：dp[i][j]为从i到j顺时针区间的多边形最小方案的值。
转移：dp[i][j]=min(dp[i][j], max(Area(i, k, j), dp[i][k], dp[k][j]))

HDU-5693 D Game

待补好题

UVA-10003 Cutting Sticks

有根棍子，上面有些分割点(n<50)，每次按分割点切割棍子时，费用为当前棍子的长度。
问有什么样的顺序切完分割点，使总费用最小。
状态：dp[i][j]表示分割点ij之间棍子的最小切割费用。
转移：dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j])+pos[j]-pos[i]

ZOJ-3537 Cake

三角剖分系列。
给一个多边形，需要分成若干三角形，且每分一次边有代价|xi+xj|*|yi+yj|%p。
问总代价最小值。
状态：dp[i][j]表示第i节点到第j节点围城的多边形最小值。
转移：dp[l][j]=min(dp[l][k]+dp[k][j]+cost(l, k)+cost(k, j));

三角剖分边界：dp[i][j]=INF, dp[i][i]=dp[i][i+1]=0
三角剖分原理：dp(i, j)(包含点ij且i<j)表示顺时针从i到j的凸多边形最值，则ijk可表示三角形顶点。

POJ-1651 Multiplication Puzzle

矩阵链乘问题
给一个序列，每次取一个元素的代价是c[i-1]c[i]c[i+1]，问取到剩下2个元素的代价最小值。
状态：设dp(i, j)表示i到j的元素全部选择后的最小值，要注意是全部元素没有被选择过，且端点左右的元素没有被选过
转移：dp(i, j)=min(dp(i, k-1)+dp(k+1, j)+c[l-1] * c[k] * c[r+1])
注意：

k的取值范围，按定义来就是i~j
为何状态转移是取k，而其他两数在端点？
我们可以证明，这样的状态转移包含了所有取数情况，而取(k-1, k, k+1)（先取k元素）是明显不可行的，
因为接下来区间端点代价计算就是错误的。
边界条件问题，我们一定要分析区间有0, 1, 2, 3个值的情形。我们发现l>r时，即上次的k选择在了端点上，这部分代价在上一层已经计算完毕。l==r时，按定义发现只能有一种三元组。

POJ-2955 Brackets

给一个可能合法的括号序列（包含中小括号），问最长合法子串最长长度。
貌似可以用简单dp的方法？
状态：dp[i][j]表示i到j的最长长度。
转移：
dp[i][i+len]=max(dp[i][i+len], dp[i][k]+dp[k+1][i+len])
dp[i][i+len]=max(dp[i][i+len], dp[i+1][i+len-1]+2*ismatch(i, i+len))

以下待补:

#概率DP

#树形DP

#数位DP

#背包问题

#典型DP