[BZOJ4008]亚瑟王

Description

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。

他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂

亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。作为一个非

洲人，同时作为一个前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已

经多年没写过代码，连 Spaly都敲不对了，因此，希望你能帮帮小 K，让他感受一

下当欧洲人是怎样的体验。

本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。

玩家有一套卡牌，共 n张。游戏时，玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序，排列后

将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~ n。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。

每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi，如果成功发动，则会对

敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因

素以及小K非洲血统的考虑，pi不会为 0，也不会为 1，即 0 < pi < 1。

一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次

考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌：

1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则

1.1 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）；

否则（是最后一张），结束这一轮游戏。

2否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第 i 张

2.1将其以 pi的概率发动技能。

2.2如果技能发动，则对敌方造成 di点伤害，并结束这一轮。

2.3如果这张卡牌已经是最后一张（即 i 等于n），则结束这一轮；否则，

考虑下一张卡牌。

请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

Input

输入文件的第一行包含一个整数 T，代表测试数据组数。

接下来一共 T 组数据。

每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 n和r，分别代表卡牌的张数和

游戏的轮数。

接下来 n行，每行包含一个实数和一个整数，由空格隔开，描述一张卡牌。第

i 行的两个数为 pi和 di，分别代表第 i 张卡牌技能发动的概率（实数）和技能发动

造成的伤害（整数）。保证 pi最多包含 4位小数，且为一个合法的概率。

Output

对于每组数据，输出一行，包含一个实数，为这套卡牌在这一局游戏中造成的

伤害的期望值。对于每一行输出，只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过

10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案，o是输出)，你的输出才会被判为正确。

建议输出10 位小数。

Sample Input

1
3 2
0.5000 2
0.3000 3
0.9000 1

Sample Output

3.2660250000

对于所有测试数据， 1 <= T <= 444， 1 <= n <= 220， 0 <= r <= 132， 0 < pi < 1， 0 <= di <= 1000。

除非备注中有特殊说明，数据中 pi与di均为随机生成。

请注意可能存在的实数精度问题，并采取适当措施。

题解

先膜一波XYZ大神

这道题首先我们要想好状态数组含义

由于这是个抽卡游戏,每抽到一张卡其他卡的概率都会改变

所以我们要消除这种不方便,故设f[i][j]表示前i张卡在游戏中剩下j轮被选择的概率

对于第i-1张卡,考虑它对前i张的贡献:要么在剩下j轮都没被打出,要么它一定在某一轮中放了技能

所以这张卡对前i张卡的影响是

j轮都没打出:f[i][j]+=f[i-1][j]*pow(1-p[i-1],j)

某一轮打出了:f[i][j-1]+=f[i-1][j]*(1-pow(1-p[i-1],j));

所以f[i][j]的递推公式是:f[i][j]=f[i-1][j]*pow(1-p[i-1],j)+f[i-1][j+1]*(1-pow(1-p[i-1],j+1));

然后把所有f[i][j]乘上在j轮中某一轮打出的概率(1-pow(1-p[i],j)),再乘伤害d[i]然后累加,得到的就是最后答案

代码见下

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

using namespace std;

const int N=;

const int R=;

int t,n,r,d[N];

double p[N],k[N],f[N][R];

inline void intn()

{

    for(int i=;i<N;i++)p[i]=k[i]=;

    memset(d,,sizeof(d));

}

int main()

{

    scanf("%d",&t);

    while(t--)

    {

        intn();

        scanf("%d%d",&n,&r);

        for(int i=;i<=n;i++)

            scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]);

        for(int i=;i<N;i++)

            for(int j=;j<R;j++)

                f[i][j]=;

        double ans=;

        f[][r]=;

        for(int i=;i<=n;i++)

            for(int j=;j<=r;j++)

            {

                f[i][j]=f[i-][j]*pow(-p[i-],j)+f[i-][j+]*(-pow(-p[i-],j+));

                ans+=f[i][j]*(-pow(-p[i],j))*d[i];

            }

        printf("%.10lf\n",ans);

    }

}