优先级队列Priority_queue

定义

拥有权值观点的queue，，一个是返回最高优先级对象，一个是在底端添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue) 。

实现

利用max_heap完成，以vector表现的完全二叉堆。max_heap可以满足priority_heap所需要的依照权值高低自动递减的特性。

二叉堆

二叉堆是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。 有了这一性质，那么二叉堆上最大值就是根节点了。

二叉堆的表现形式：我们可以使用数组的索引来表示元素在二叉堆中的位置。

从二叉堆中，我们可以得出：

· 元素k的父节点所在的位置为[k/2]

· 元素k的子节点所在的位置为2k和2k+1

跟据以上规则，我们可以使用二维数组的索引来表示二叉堆。通过二叉堆，我们可以实现插入和删除最大值都达到O(nlogn)的时间复杂度。

对于堆来说，最大元素已经位于根节点，那么删除操作就是移除并返回根节点元素，这时候二叉堆就需要重新排列；当插入新的元素的时候，也需要重新排列二叉堆以满足二叉堆的定义。现在就来看这两种操作。

从下至上的重新建堆操作: 如果一个节点的值大于其父节点的值，那么该节点就需要上移，一直到满足该节点大于其两个子节点，而小于其根节点为止，从而达到使整个堆实现二叉堆的要求。

由上图可以看到，我们只需要将该元素k和其父元素k/2进行比较，如果比父元素大，则交换，然后迭代，一直到比父元素小为止。

private static void Swim(int k)
{
    //如果元素比其父元素大，则交换
    while (k > 1 && pq[k].CompareTo(pq[k / 2]) > 0)
    {
        Swap(pq, k, k / 2);
        k = k / 2;
    }
}

这样，往堆中插入新元素的操作变成了，将该元素从下往上重新建堆操作：

代码实现如下：

public static void Insert(T s)
{
    //将元素添加到数组末尾
    pq[++N] = s;
    //然后让该元素从下至上重建堆
    Swim(N);
}

动画如下：

由上至下的重新建堆操作：当某一节点比其子节点要小的时候，就违反了二叉堆的定义，需要和其子节点进行交换以重新建堆，直到该节点都大于其子节点为止：

代码实现如下:

private static void Sink(int k)
{
    while (2 * k < N)
    {
        int j = 2 * k;
        //去左右子节点中，稍大的那个元素做比较
        if (pq[j].CompareTo(pq[j + 1]) < 0) j++;
        //如果父节点比这个较大的元素还大，表示满足要求，退出
        if (pq[k].CompareTo(pq[j]) > 0) break;
        //否则，与子节点进行交换
        Swap(pq, k, j);
        k = j;
    }
}

这样，移除并返回最大元素操作DelMax可以变为：

1. 移除二叉堆根节点元素，并返回

2. 将数组中最后一个元素放到根节点位置

3. 然后对新的根节点元素进行Sink操作，直到满足二叉堆要求。

移除最大值并返回的操作如下图所示：

以上操作的实现如下：

public static T DelMax()
{
    //根元素从1开始，0不存放值
    T max = pq[1];
    //将最后一个元素和根节点元素进行交换
    Swap(pq, 1, N--);
    //对根节点从上至下重新建堆
    Sink(1);
    //将最后一个元素置为空
    pq[N + 1] = default(T);
    return max;
}

动画如下：