python3 第十章 - 如何进行进制转化
在计算机的世界里,2进制是主流,而在人类的自然世界中,10进制是主流,那么在这之间必然就会存在进制转化的问题。本章我们就来谈谈进制转化,也希望通过本章加深您对前些章所学知识的理解。
原理:先说说关于位权的概念,某进制计数制中各位数字符号所表示的数值,表示该数字符号值乘以一个与数字符号有关的常数,该常数称为 “位权 ” 。位权的大小是以基数为底,数字符号所处的位置的序号为指数的整数次幂。十进制数的百位、十位、个位、十分位的权分别是10的2次方、10的1次方、10的0次方,10的-1次方。二进制数就是2的n次幂。按权展开求和(按权相加)正是非十进制化十进制的方法。
1、其它进制转十进制
把二进制数首先写成加权系数展开式,然后按十进制加法规则求和:
例如:1101 = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
同样的,八进制转十进制,也可以用按权相加法:
例如:0o12 = 1 * 81 + 2 * 80 = 1 * 8 + 2 * 1 = 10
再来看看,十六进制转十进制,怎么用按权相加法:
例如:0x12 = 1 * 161 + 2 * 160 = 1 * 16 + 2 * 1= 18
2、十进制转其它进制
众所周知,二进制的基数为2,我们十进制化二进制时所除的2就是它的基数。
我们先举个十进制整数转换为二进制整数的例子,假设十进制整数A化得的二进制数为edcba 的形式,那么用上面的方法按权展开, 得A=a(2^0)+b(2^1)+c(2^2)+d(2^3)+e(2^4) (后面的和不正是化十进制的过程吗)
假设该数未转化为二进制,除以基数2得
A/2=a(2^0)/2+b(2^1)/2+c(2^2)/2+d(2^3)/2+e(2^4)/2
注意:a除不开二,余下了!其他的绝对能除开,因为他们都包含2,而a乘的是1,他本身绝对不包含因数2,只能余下。
商得:
b(2^0)+c(2^1)+d(2^2)+e(2^3),再除以基数2余下了b,以此类推。
当这个数不能再被2除时,先余掉的a位数在原数低,而后来的余数数位高,所以要把所有的余数反过来写。正好是edcba
我们先来看看,十进制如何转二进制,以13为例:
十进制整数转换为二进制整数采用”除2取余,逆序排列"法。具体做法是:用2整除十进制整数,可以得到一个商和余数;再用2去除商,又会得到一个商和余数,如此进行,直到商为0时为止,然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位,后得到的余数作为二进制数的高位有效位,依次排列起来。
所以,13 = 0b1101
我们再来看看,十进制如何转八进制,以53为例:
十进制整数转换为八进制整数采用”除8取余,逆序排列"法。具体做法是:用8整除十进制整数,可以得到一个商和余数;再用8去除商,又会得到一个商和余数,如此进行,直到商为0时为止,然后把先得到的余数作为八进制数的低位有效位,后得到的余数作为八进制数的高位有效位,依次排列起来。
所以,153 = 0o231
通过以上十进制转二进制,以及十进制转八进制的例子,你应该明白规律了吧,自己试着把十进制286转成十六进制
3、十进制小数转换为二进制小数
十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整,顺序排列"法。具体做法是:用2乘十进制小数,可以得到积,将积的整数部分取出,再用2乘余下的小数部分,又得到一个积,再将积的整数部分取出,如此进行,直到积中的小数部分为零,此时0或1为二进制的最后一位。或者达到所要求的精度为止。
然后把取出的整数部分按顺序排列起来,先取的整数作为二进制小数的高位有效位,后取的整数作为低位有效位。
十进制小数转二进制
如:0.625=0b0.101
0.625*2=1.25======取出整数部分1
0.25*2=0.5========取出整数部分0
0.5*2=1==========取出整数部分1
再如:0.7=0B0.1 0110 0110...
0.7*2=1.4========取出整数部分1
0.4*2=0.8========取出整数部分0
0.8*2=1.6========取出整数部分1
0.6*2=1.2========取出整数部分1
0.2*2=0.4========取出整数部分0
0.4*2=0.8========取出整数部分0
0.8*2=1.6========取出整数部分1
0.6*2=1.2========取出整数部分1
0.2*2=0.4========取出整数部分0
原理:
关于十进制小数转换为二进制小数
假设一十进制小数B化为了二进制小数0.ab的形式,同样按权展开,得
B=a(2^-1)+b(2^-2)
因为小数部分的位权是负次幂,所以我们只能乘2,得
2B=a+b(2^-1)
注意a变成了整数部分,我们取整数正好是取到了a,剩下的小数部分也如此。
值得一提的是,小数部分的按权展开的数位顺数正好和整数部分相反,所以不必反向取余数了。
如果小数的整数部分有大于0的整数时该如何转换呢?如以上整数转换成二进制,小数转换成二进制,然后加在一起就OK了,例如:6.125转成二进制
6.125 = 0B110.001
十进制小数转换为八进制小数、十进制小数转换为16进制小数也是类似的操作,请自行把 6.125分别转化为8进制、16进制
思考,如何把10进制转化为2~36的任意进制?后面的教程里,我们用程序来实现。
在线验证工具:http://tool.oschina.net/hexconvert/
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