hdu--1028--Ignatius and the Princess III (母函数)
Ignatius and the Princess III
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"The second problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:
N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];
a[i]>0,1<=m<=N;
My question is how many different equations you can find for a given N.
For example, assume N is 4, we can find:
4 = 4;
4 = 3 + 1;
4 = 2 + 2;
4 = 2 + 1 + 1;
4 = 1 + 1 + 1 + 1;
so the result is 5 when N is 4. Note that "4 = 3 + 1" and "4 = 1 + 3" is the same in this problem. Now, you do it!"
母函数:生成函数即母函数,是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种,其中普通型用的比较多。形式上说,普通型生成函数用于解决多重集的组合问题,而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。母函数还可以解决递归数列的通项问题(例如使用母函数解决斐波那契数列的通项公式)。
(百度百科的东西,大家估计也不想看,请看下面这个公式)
以展开后的x4为例,其系数为4,即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4;
即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2
再引出两个概念整数拆分和拆分数:
整数拆分即把整数分解成若干整数的和(相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子,盒子允许空,也允许放多于一个球)。
整数拆分成若干整数的和,办法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数。
/* Name: hdu--1028--Ignatius and the Princess III Copyright: 2017 日天大帝 Author: 日天大帝 Date: 22/04/17 16:36 Description: 母函数,对应上面那个公式,更容易做这道题 */ #include<iostream> using namespace std; ],c2[]; int main() { ,i; ;i <= n; i++){ c1[i] = ;//母函数第一个因子,全为1,c1保存前面i-1个因子相乘的结果,首先对c1初始化,由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化,把质量从0到n的所有砝码都初始化为1. c2[i] = ; } ;i<=n;i++){//操作第i个括号,i从2到n遍历,这里i就是指第i个表达式,上面给出的母函数关系式里,每一个括号括起来的就是一个表达式。 ; j<= n;j++){//对于指数为j的进行操作,j 从0到n遍历,这里j就是只一个表达式里第j个变量,比如在第二个表达式里:(1+x2+x4....)里,第j个就是x2*j. ;k+j<=n;k+=i){//把第i个的每一个数与之前的结果相乘,k表示的是第j个指数,所以k每次增i(因为第i个表达式的增量是i)。 c2[j+k]+=c1[j];//j+k指数相加,他的值就是这个指数的系数, } } ;j<=n;j++){//系数保存在前面一个数组中 c1[j] = c2[j];//把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,因为c2每次是从一个表达式中开始的 c2[j] = ; } } while(cin>>n)cout<<c1[n]<<endl; ; }
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