数据结构4——浅谈DancingLinks的思想及应用

在学习DancingLinks之前，我们先来回顾一下我们以前学过的回溯法。

我们学习基础的回溯法的时候，我们都是先判断是否达到解，然后继续搜索。

对于搜到的下一个点，将他标记为使用过（ vis[i]=; ），然后进入下一层搜索。

当解决精确覆盖问题（给定几个集合，使得找出其中一个或几个集合，满足这些集合中的元素互不重复，然后覆盖$[1,n]$的每一个数）的时候，我们发现普通的回溯算法不好写，而且我们需要模拟一个01矩阵。例如下面这个矩阵，他表示有四个集合$S_1,S_2,S_3,S_4$，其中有$3$列，当第$i$行第$j$列为1时，表示集合$S_i$中有元素$j$。我们要求的精准覆盖，就是找出几个集合，满足他们交集为空，并集刚好覆盖每一列。例如下面的$S_1$和$S_3$。（刚好覆盖3列，且没有重复）

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\  0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

暴力搜索需要$O(2^n \times m)$的时间复杂度。然后我们需要一个复杂度相对优秀的数据结构帮助我们写回溯算法。于是Donald E.Knuth发明了舞蹈链。这个数据结构在缓存和回溯的过程中效率惊人，不需要额外的空间，以及近乎线性的时间。而在整个求解过程中，指针在数据之间跳跃着，就像精巧设计的舞蹈一样，由此得名。

Dancing Links用的数据结构是交叉十字循环双向链。

因为精确覆盖问题所模拟的矩阵往往是稀疏矩阵（矩阵中，0的个数多于1），Dancing Links仅仅记录矩阵中值是1的元素。

然后在回溯算法中，我们就把标记为已用改成删除这一列。

然后按照dfs的模板打一下。

那么怎么实现插入和删除呢？我们考虑普通的链表，它的插入和删除就是找到一个节点，然后把它前面和后面的连起来（删除）或者分别连接前一个和后一个（插入）。舞蹈链也类似，当搜索到有一个集合是就是删除集合中所有为1的列。

于是我们整理出了一个回溯的过程（X算法）。

1、从矩阵中选择一行

2、根据定义，标示矩阵中其他行的元素

3、删除相关行和列的元素，得到新矩阵

4、如果新矩阵是空矩阵，并且之前的一行都是1，那么求解结束，跳转到6；新矩阵不是空矩阵，继续求解，跳转到1；新矩阵是空矩阵，之前的一行中有0，跳转到5

5、说明之前的选择有误，回溯到之前的一个矩阵，跳转到1；如果没有矩阵可以回溯，说明该问题无解，跳转到7

6、求解结束，把结果输出

7、求解结束，输出无解消息

因为我们使用了DancingLinks实现X算法，所以这个算法又叫DLX算法。

具体实现上，我们对于每一个结点记下它的左边一列（lt）右边一列（rt）上面一行（up）下面一行（dn），然后注意初始时按照输入插入（ insert(r,c) 表示集合$S_r$有元素$c$），回溯时除了删除，还有恢复（就像写普通搜索时vis要恢复为0一样）。恢复刚好与删除相反。

那么有同学就会提出疑问：是不是会出现删除之后还没恢复就在同一层继续求解呢（这样会导致答案错误）？答案是不会。因为我们的dance()函数是按照dfs顺序，当没有恢复的时候不会再同一层再往下搜（即先删除先恢复的性质）。

那么这样我们就把DancingLinks的基础知识点就讲完了。

附：Cpp代码（恢复代码中有关tot_ans和ans[]的内容，最后可以输出覆盖方案）。

struct DancingLinks
{
    //init
    static const int MAXN=,MAXM=,MAXV=(>>)+;
    int n,m,sz;
    int up[MAXV],dn[MAXV],lt[MAXV],rt[MAXV],row[MAXV],col[MAXV];
    int ph[MAXN],ps[MAXM];//记录行的选择情况和列的覆盖情况
//    int tot_ans,ans[MAXN];

    void init(int _n,int _m)
    {
        n=_n;m=_m;sz=m;
        for(int i=;i<=m;i++)
        {
            ps[i]=;
            up[i]=dn[i]=i;
            lt[i]=i-;rt[i]=i+;
        }
        rt[m]=;lt[]=m;
        for(int i=;i<=n;i++)
            ph[i]=-;
    }

    //operation
    void insert(int r,int c)
    {
        ps[c]++;
        col[++sz]=c;
        row[sz]=r;
        up[sz]=c;
        up[dn[c]]=sz;
        dn[sz]=dn[c];
        dn[c]=sz;
        if(ph[r]<)//head
            ph[r]=lt[sz]=rt[sz]=sz;
        else
        {
            lt[sz]=ph[r];
              rt[sz]=rt[ph[r]];
              lt[rt[ph[r]]]=sz;
              rt[ph[r]]=sz;
        }
        return;
    }
    void remove(int c)
    {
        lt[rt[c]]=lt[c];
        rt[lt[c]]=rt[c];
        for(int i=dn[c];i!=c;i=dn[i])
            for(int j=rt[i];j!=i;j=rt[j])
            {
                up[dn[j]]=up[j];
                dn[up[j]]=dn[j];
                ps[col[j]]--;
            }
    }
    void rebuild(int c)
    {
        for(int i=up[c];i!=c;i=up[i])
            for(int j=lt[i];j!=i;j=lt[j])
            {
                up[dn[j]]=dn[up[j]]=j;
                ps[col[j]]++;
            }
        lt[rt[c]]=rt[lt[c]]=c;
    }

    //dance
    bool dance(int d)
    {
        if(rt[]==)
        {
//            tot_ans=d;
            return ;
        }
        int c=rt[];
        for(int i=rt[];i;i=rt[i])
            if(ps[i]<ps[c])
                c=i;
        remove(c);
        for(int i=dn[c];i!=c;i=dn[i])
        {
//            ans[d]=row[i];
            for(int j=rt[i];j!=i;j=rt[j])
                remove(col[j]);
            if(dance(d+))
                return ;
            for(int j=lt[i];j!=i;j=lt[j])
                rebuild(col[j]);
        }
        rebuild(c);
        return ;
    }
}dlx;

DancingLinks

参考资料：跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题