Atcoder [AGC006D] Median Pyramid Hard 题解 [ 紫 ] [ 二分 ] [ adhoc ]

Median Pyramid Hard：二分 trick 加上性质观察题。

trick

我们可以二分值域，然后把大于等于它的数标记成 \(1\)，其他标记为 \(0\)（有些题需要标记成 \(-1\) ），然后根据这个来 check 方案是否可行，这通常通过判断某个数是否是 \(1\) 来实现。本质上其实就是 check 大于等于它的数能否成为答案（大于等于它的数为 \(1\)）。常用于查找中位数、第 \(k\) 个数，以及大小关系只注重两种（比如只区分大于 \(7\) 和小于 \(7\) ，而大于 \(7\) 的数之间的大小无关的情况）。

这道题就是二分塔顶，check 大于等于它的数能不能成为塔顶，把大于等于它的数设为 \(1\)，其他设为 \(0\) 。

观察性质

那么这题显然对应着“大小关系只注重两种”的用途，接下来考虑如何 check。

观察到一个位置下面的三个数只可能是这些情况：

0 0 0  => 0
0 0 1  => 0
0 1 0  => 0
0 1 1  => 1
1 0 0  => 0
1 0 1  => 1
1 1 0  => 1
1 1 1  => 1

然后我们手搓样例，继续观察：

sample1:
      1
    1 1 1
  0 1 1 1 0
0 0 1 1 0 1 0

sample2:
      1
    0 1 1
  0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 1

可以观察到，当 \(1\) 或者 \(0\) 形成一段长度大于等于 \(2\) 的连续区间时，他们就能不断上升，直到塔顶。因为结果与这个区间的长度基本无关，所以我们只取最靠近中间的两个即可。

如果有一段区间既不是 \(1\) 的连续区间，也不是 \(0\) 的区间呢？那么它一定是 \(01\) 交替的区间。而 \(01\) 交替的区间又正好可以让某一段连续区间不断攀升（起到辅助作用）。因此，我们只要找到离中间最近的一段交替区间即可，它的数字就是塔顶的数字。

可以证明，一定没有一个 \(1\) 的连续区间和一个 \(0\) 的连续区间，使他们到中间的距离相等，例子如下：

1 1 1 * * * 0 0 0

此时星号里必须填入一个 \(01\) 交替，以 \(0\) 开头，以 \(1\) 结尾的串。但这显然不成立，因此没有这种情况。

还有一种特殊情况：所有 \(01\) 都是交替出现，找不到满足要求的 \(01\) 区间。很容易发现这种情况的答案就是最底层第一个数的数字（手动模拟一下就可以了）。那么特判一下就可以了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define lc (p<<1)
#define rc ((p<<1)|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pi;
int a[200005],n,f[200005];
bool check(int p)
{
	for(int i=1;i<=2*n-1;i++)f[i]=(a[i]>=p);
	for(int i=0;i<=n-2;i++)
	{
		if(f[n-i]==f[n-i-1])return f[n-i];
		if(f[n+i]==f[n+i+1])return f[n+i];
	}
	return f[1];
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=2*n-1;i++)cin>>a[i];
	int l=1,r=2*n-1,mid;
	while(l<r)
	{
		mid=(l+r+1)>>1;
		if(check(mid))l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	cout<<l;
	return 0;
}