Set/Number Theory: 集合/数 理论：N自然数集合 + Z整数集合 + Q有理数集 + R实数集合

Dedekind cut

Dedekind分割(实数完备性)

Dedekind cut, in mathematics, concept advanced in 1872 by the German mathematician Richard Dedekind that,

combines an arithmetic formulation of the idea of continuity with a rigorous distinction between rational and irrational numbers.

集合：

Field域、Order序、Continuity连续性:

Field域: AM

集合运算及运算规律、

分类集合的运算及运算规律:

加法A: 单位元 0, 交换律，结合律，负元

乘法M: 单位元 1, 乘法×对加法+的分配律，交换律、结合律，负元

序O: A ≤ B and B ≤ A, then A = B, 传递性,

• 完备性：Dedekind分割(不空、不漏、不乱)，
  
  确界唯一性{上界集合、下界集合}：
  
  对 N有理数集的 Dedekind分割{L, U}: ,
  
  对 Z实数集的 Dedekind分割{L, U),

  对 Q(+, *, ≤)有理数集的 Dedekind分割{L, U}: ,

  对 R(+, *, ≤)实数集的 Dedekind分割{L, U):
  
  L有最大值+U无最小值：D分割点=max(L)
  
  L无最大值+U有最小值：D分割点=min(U)
  
  L无最大值+U无最小值：D分割点=无理数点(无限不循环小数点)

稠密性(任意两个不同的元数可无穷的Dedekind分割):

Q: 任意两个不同的Q有理数之间有无穷多的有理数点：

例: a与b都是有理数, 则(a+b)/2也是有理数;

R: 任意两个不同的R实数之间有无穷多的实数点(包括两类, 有理数点与无理数点)

R是Q的超集

稠密性表达：

满足稠密性的集合任一元素，没有“下一个元素” 或 “最邻近的元素” ；

只有不满足稠密性的集合元素，存在“下一个元素” 或 “最邻近的元素”。

N自然数集合 与 Z整数集合 不满足稠密性：

任意两个 不同的 自然数元素 或 整数元素 之间的元数是可数的；

因此，对任何一个 N自然数 或 Z整数 的元素都有 上一个与下一个 和 最邻近的元素；

Q有理数集合 与 R实数集合 满足稠密性：

任意两个不同的 有理数元素 或 实数元素 之间的元数是无穷多的。

因此，对任何一个 Q有理数 或 R实数 的元素，没有“上一个与下一个” 或 最邻近的元素。

Ε/Δ 语言; Any+Exist:

无穷小与无穷大: 无穷小是多小？无穷大是多大？

数列+

可列性：

N: 0, 1, …, n, …

Z: …, -n, …, -1, 0, 1, …, n, …

Q: m = p/q, q不为0, q与p都是整数;

Fraction小数表示有两类(都是可列的):

I.有限小数,

II.无限循环小数: 例 1/3,

实数:

Q: Rational Number

无理数: 无限不循环小数: x^2 =2, pi圆周率, e自然常数

广义实数集: 无穷大(+无穷大，-无穷大)

集合论：

0. 集合关系(首先明确 全集 Ω 与 空集) ：

韦恩图: 离、补、交、含、

运算：并、补、交、差、

运算规律：德摩根、分配、交换、结合

1. 域集合：包括空集、全集，对 “并、补”两类运算封闭，

2. 集合类型：
   
   1.1 有限集:
   
   1.2 无限集：
   
   可列集，
   
   不可列无限集

3. 非空、无穷、无穷项 的集合序列：

4. 连续性(包括 下连续与上连续):
   
   下连续: 任意子序列严格单调不减；
   
   上连续: 任意子序列严格单调不增；

单调不减，单调不增

事件的：

运算：

加法：P(A) + P(B) = P()

减法：P(A) - P(B) = P (A - AB)

乘法

独立与相依

数列