进阶篇：6.2）公差的正态分布与CPK与制程能力（重要）

本章目的：明确公差分布（Tolerance Distribution）也有自己的形状，了解CPK概念。

1.正态分布（常态分布）normal distribution的概念

统计分析常基于这样的假设：零件在大批量生产时，其尺寸在其公差范围内呈正态分布（常态分布）normal distribution。

事实也是如此，针对一个零件尺寸，在一定制造条件下制造并测量无数个零件，并记录相同尺寸出现的频率，可以绘制出一张尺寸大小的频率图，这张图纸就是正态分布图。如下面两张图所示（一简一繁）。

多数的零件尺寸值会向着图形的中心，即尺寸的平均值聚集，离平均值越远，该尺寸出现的可能性就越小。

这里就有两个重要值，中间值μ与标准差σ。即公差形状的中心和范围，各本书中关于这两个值的解释和标注都有所不同，但工程师要注意其本质。

中间值μ：曲线对称轴的位置，这决定了整条曲线的位置。

标准差σ：由中间值到曲线的曲率正负号改变点的距离，这决定了曲线的分散或集中程度。

补充解释如下图（spc手册）：

正态分布，即是公差的形状，需要熟记于心。

从正态分布的概念看出，图纸公差标注只代表的是范围值，却不能规定制造零件的合格率形状。

所以我们在图纸绘制时，标注的公差并不能约束它的分布形态。但标注时就需要了解统计分析，遵守基本的公差分布情况。

比如单边公差标注,如1（+0.5/0）等，并不能约束所有制造的零件尺寸又在你的公差范围内，同时又偏向一边，不合理的。如下图：

很多供应商声明它们在制作零件时既能保证尺寸在[a,b]范围以内，又能保证大部分的零件靠近a值。这并不符合正态分布的概念。

供应商会告诉你他能做到很多事情，却常常隐瞒你要付出的代价。

1.1 各种公差分布（Tolerance Distribution）的形态

公差分布型态（Tolerance Distribution）不只是一种。如下图所示：

图1为正态分布（或称之为常态分布），这是大多数零件生产时候会出现的情况。但这种情况并不是唯一的，极端情况下也会出现其他的公差分布形态。我们很多时候进行统计分析时都是运用正态分布图，但也不要忘记其他公差分布的情况。

就作者的理解，其他有规律的公差形状，如倒钟形或双峰形等，也可以算是正态分布的变种。所以应该也能进行统计分析的计算（这些知识作者就没有研究这么深了）。

2.理解正态分布存在的价值

有些机械设计师不明白，我为什么要理解公差的分布形状，制造方不是只要制造尺寸公差合格的零件就行了么，尺寸不合格的零件，当然不要了。

这个概念其实不算错，但现实不会如此简单。

假如量产100万件产品，成本是10元，合格率100%。但当成本降低至8元时，而合格率为99.9999%。你是老板，你会怎么选？

一般人当然会选后者。

而大幅度降低成本，却只会小幅度增加不良率的依据，正是正态分布图。（cpk是要和正态分布要一起讲的概念）

又但是，这件事不绝对，有些产品的正太分布是水平线的形状或倒V字，这时候降低生产精度和成本，会大幅度提高不良率，就不合适了。

而如何正确控制不良率和成本，就是质量管理的作用。设计也要参与其中，产品设计就是在成本与质量的之间衡量，而且也是性价比最好的手段（虽然不敢称之为最快或最好的手段，但设计绝对是性价比最高的手段）

设计者为什么可以敢于设计一个可能有错误的产品，制造方为什么有理由制造错误的产品，检测人员为什么能放过错误的产品。

请看所有万恶之源：正态分布与cpk。

3.cpk是基于正态分布原理

cpk的统计是基于零件的公差分布是正态分布（Tolerance Distribution）。

对于非正态分布的统计分析，是否能用cpk，作者也不能肯定。（没有对应的中文资料，统计技术也是在发展的）

4.CPK的基础知识点

1）Cpk （Complex Process Capability index .）的中文定义为：制程能力指数，是某个工程或制程水准的量化反应，也是工程评估的一类指标。

2）同Cpk息息相关的两个参数：Ca , Cp.
Ca: 制程准确度。 在衡量「实际平均值」与「规格中心值」之一致性。对於单边规格，因不存在规格中心，因此不存在Ca；对於双边规格，Ca=(ˉx-U)/(T/2)。
Cp: 制程精密度。 在衡量「规格公差宽度」与「制程变异宽度」之比例。对於单边规格，
只有上限和中心值，Cpu = | USL-ˉx | / 3σ。
只有下限和中心值，Cpl = | ˉx -LSL | / 3σ
对於双边规格：Cp=(USL-LSL) / 6σ

3）Cpk, Ca, Cp三者的关系： Cpk = Cp * ( 1 - |Ca|)，Cpk是Ca及Cp两者的中和反应，Ca反应的是位置关系(集中趋势)，Cp反应的是散布关系(离散趋势)。

//也就是说，中心值μ越是接近于理论值，Ca越小。越是集中，Cp越大。这样的趋势，也就是cpk是越好的。

4）当选择制程能力Cpk来作管控时，应以成本做考量的首要因素？还有是其品质特性对后制程的影响度。

5）计算取样数据至少应有20~25组数据，方具有一定代表性。

6）计算Cpk除收集取样数据外，还应知晓该品质特性的规格上下限(USL，LSL)，才可顺利计算其值。

7）首先可用Excel的“STDEVP”函数(注：应该是“STDEV”，可参考minitab计算出的数据。excel2007及早期版本与STDEV.P计算值相同)

自动计算所取样数据的标准差(σ)，再计算出规格公差(T)，及规格中心值(U). 规格公差T=规格上限－规格下限；规格中心值U=（规格上限+规格下限）/2；

5.cpk评级标准及处理

1）依据公式：Ca=(X-U)/(T/2) ， 计算出制程准确度：Ca值 (X为所有取样数据的平均值)

Ca的评级标准及处理：

等级	Ca值	处理原则
A	|Ca|≤12.5%	作业员遵守作业标准操作并达到要求，需继续保持。
B	12.5%≤|Ca|≤25%	有必要将其改进为A级。
C	25%≤|Ca|≤50%	作业员可能看错规格或不按作业标准操作。须检讨规格及作业标准。
D	50%≤|Ca|	应采取紧急措施全面检讨所有可能影响之因素，必要时得停止生产。

2）依据公式：Cp =T/6σ ， 计算出制程精密度：Cp值

Cp的评级标准及处理：

等级	Cp值	处理原则
A+	Cp≥1.67	无缺点。可考虑降低成本。
A	1.33≤Cp≤1.67	状态良好维持现状。
B	1.00≤Cp≤1.33	改进为A级。
C	0.67≤Cp≤1.00	制程不良较多，须提升能力。
D	Cp≤0.67	制程能力歹差，应考虑重新整改设计程程。

3） 依据公式：Cpk=Cp(1-|Ca|) ， 计算出制程能力指数：Cpk值

4）Cpk的评级标准：（可据此标准对计算出之制程能力指数做相应对策）

等级	Cpk值	处理原则
A++	Cpk≥2.0	特优，可考虑成本的降低
A+	2.0 > Cpk ≥ 1.67	优，应当保持之
A	1.67 > Cpk ≥ 1.33	良，能力良好，状态稳定，但应尽力提升为A+级
B	1.33 > Cpk ≥ 1.0	一般，制程因素稍有变异即有产生不良的危险，应利用各种资源及方法将其提升为 A级
C	1.0 > Cpk ≥ 0.67	差，制程不良较多，必须提升其能力
D	0.67 > Cpk	不可接受，其能力太差，应考虑重新整改设计制程。

5） Cpk、西格玛σ，PPM,（parts per million 百万分之）,合格率。

作者看过很多资料，总感觉这些换算的表格不一致？不知道是不是因为中间值u的1.5σ偏移的问题。

下面这份表格是作者现在最认同的，毕竟6σ表示百万分之3.4件不合格。

6）CPK与PPK的不同

CPK与PPK都是表示制程能力的参数，PPK中添加了对过程特殊原因的关注，是描述过程性能的指标，两者的不同在于取标准差的算法不同σ，其余计算方法实际上是一样的。现实中也常常用cpk代替PPK的运算。

5.cpk是针对特征而言的

有些质量管理人员讲解cpk单指尺寸，但实际上cpk与正态分布图的应用范围是很广的。比如材料的某些特性也是呈正态分布的，再比如大多数产品的合格率也是呈正态分布的。

6.cpk运用时间点

如图所示，早期就可以在模具样品中运用了。

FAI是为了证明：这是一个正确的零件/产品。

CPK是为了证明：后续大量生产，也可以保证质量稳定。

只有先做好这两点，以后量产的时候，才能检验关键尺寸就能成为质量稳定的依据。

7.cpk统计表格的运用

现在cpk统计并非需要手工计算，简单的方法可以运用cpk统计的表格（网上可以简单地找到，作者分享里也有）,如下图所示：

8.cpk章节对应的资料汇总

资料和动态更新，可以关注作者的微信公众号：mdmodule；