离线快速LCA（最近公共祖先） Tarjan算法

离线快速LCA（最近公共祖先） Tarjan算法

前言

对于 OIer 来说，LCA 一直是处理树上问题的好帮手，无论是倍增还是树剖都有着优秀的 \(\log n\) 的复杂度。不过由于我们（数据规模）的上进，需要更快速求 LCA，于是就有了……

反正之前打死我都不相信这玩意能离线，还能 O(1)

算法思路

首先来一棵树：

我们然后我们将要求 LCA 的点对之间加上一条虚边：

如图，我们将对求点 (7,5)、(8,9)、(11,3) 的 LCA。

一开始每个节点属于一个并查集。

接下来我们通过原树边 DFS 遍历每一个节点，在该节点 \(u\) 的子树遍历完成之后，通过该节点 \(u\) 的虚边遍历与之求 LCA 的节点 \(v\)。

此时如果 \(v\) 已经通过原树边遍历过，那么他们的 LCA 等于 \(v\) 节点的并查集根节点。

反之则不进行任何操作。

然后节点 \(u\) 的并查集祖先设为 \(u\) 在原树上的父亲。

解释一下原理：

当前 \(u\) 子树已经遍历过以后，子树 \(u\) 的并查集根节点的子树 \(t\) 一定还没有遍历完，也就是说此时还在遍历 \(t\) 的子树，如果与节点 \(v\) 要求 LCA 的节点是 \(u\)，且此时 \(v\) 通过虚边遍历到了 \(u\)。

不难发现 \((u,v)\) 的公共祖先肯定有 \(t\)，而 \(u\) 和 \(v\) 又属于节点 \(t\) 不同的分支，所以 \((u,v)\) 的最近公共祖先就是 \(t\)。

这种通过并查集连接祖先求 LCA 的方法十分巧妙。

CODE

inline void dfs(int u)
{
    for(ri i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(vis[v]) continue;
        dfs(v);
        fa[v]=u;//并查集连向父亲
    }
    for(pair<int,int> i:EL[u])//遍历虚边
    {
        if(vis[i.F]) Lca[i.S]=frt(i.F);//frt 求该并查集的根
    }
    vis[u]=1;//遍历标记
}
//i.F 是节点的编号，i.S 是问题的编号

时间复杂度分析

预处理 \(O(n)\)，处理完直接使用 \(O(1)\)。

总时间 \(O(n)\)，均摊 \(O(1)\)。

练习

P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

P3128 【USACO15DEC】 Max Flow P