洛谷2619/bzoj2654 Tree（凸优化+MST）

bzoj的数据是真的水。。

qwq

由于本人还有很多东西不是很理解

qwq

所以这里只写一个正确的做法。

首先，我们会发现，对于你选择白色边的数目，随着数目的上涨，斜率是单调升高的。

那么这时候我们就可以考虑凸优化，也就是\(wqs\)二分来满足题目中所述的正好\(k\)条边的限制。

我们\(erf\)一个\(mid\)，然后让每一个白边的权值都加上\(mid\)，然后跑\(MST\)，看最后的选的白色边数，是否是大于等于\(k\)的，如果是，就调大\(l\)，否则调小\(r\)。

由于最小生成树选择边的时候可能有一些玄学的错误，所以我们在\(sort\)的时候，对于权值相等的边，我们优先选择白边。

那么通过\(erf\)，之后，我们就能得到一个上界，也就是在当前的偏移量下，我们最多的选和1相连的边的个数。

根据\(clj\)的官方题解，这里有两个引理

对于一个图，如果存在一个最小生成树，它的白边的数量是\(x\)，那么就称\(x\)是最小合法白边数。所有的最小合法白边数形成一个区间\([l,r]\)

（因为题目保证有解，所以我们只需要找到最小的\(r\)即可）

那么经过这个\(erf\)，我们就能得到一个最小的\(r\)

那么我们应该怎么求整个\(MST\)的权值呢，我们会发现，对于权值相等的白边和黑边，由于题目保证有解，所以一定是会存在相互替代的关系的。

那我们可以按照之前的最小生成树的策略选白边，将其记为\(val\)，最后输出\(val-k*ans\)，\(ans\)表示最后的\(mid\)。

为什么是\(k\)而不是具体的选的边的数目呢？

因为题目要求正好选择\(k\)条，而我们这里实际上是把多余的白边都直接视为黑边来做了

qwqwq

那么这个题就能解决了

qwqwqwqwq

但是我根据CF125E那个题，有一个比较特殊的做法，但是套到这个这个题，我并不是很理解。qwq

这个坑还是之后再填吧

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<vector>
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define ll long long
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
   int x=0,f=1;char ch=getchar();
   while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
   while (isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
   return x*f;
}
const int maxn = 4e5+1e2;
struct Edge{
    int u,v,w;
    int col;
};
Edge e[maxn];
int n,m;
int ans;
int l=-200,r=200;
int fa[maxn];
int find(int x)
{
    if (fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}
int k;
bool cmp(Edge a,Edge b)
{
    if (a.w==b.w) return a.col<b.col;
    return a.w<b.w;
}
int solve()
{
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    int tot=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int f1 = find(e[i].u);
        int f2 = find(e[i].v);
        if (f1==f2) continue;
        //if(tot==k && e[i].col==0) continue;
        if (e[i].col==0) ++tot;
        fa[f1]=fa[f2];
    }
    return tot;
}
signed main()
{
  n=read(),m=read();k=read();
  for (int i=1;i<=m;i++)
  {
    e[i].u=read()+1;
    e[i].v=read()+1;
    e[i].w=read();
    e[i].col=read();
  }
  while(l<=r)
  {
     int mid = (l+r) >> 1;
     for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
     for (int i=1;i<=m;i++)
     {
        if (e[i].col==0) e[i].w+=mid;
     }
     int tmp = solve();
     if (tmp<k)
     {
        r=mid-1;
     }
     else l=mid+1,ans=mid;
     for (int i=1;i<=m;i++)
     {
        if (e[i].col==0) e[i].w-=mid;
     }
  }
  for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
  for (int i=1;i<=m;i++)
  if (e[i].col==0) e[i].w+=ans;
  sort(e+1,e+1+m,cmp);
  int tot=0,val=0;
  for (int i=1;i<=m;i++)
 {
        int f1 = find(e[i].u);
        int f2 = find(e[i].v);
        if (f1==f2) continue;
        if (e[i].col==0) ++tot;
        fa[f1]=fa[f2];
        val+=e[i].w;
  }
  cout<<val-k*ans;
  return 0;
}