(邹博ML)矩阵和线性代数

主要内容

• 矩阵
• 特征值和特征向量
• 矩阵求导

矩阵

SVD的提法

• 奇异值分解(Singular Value Decomposition)是一种重要的矩阵分解方法，可以看做对称方阵在任意矩阵上的推广。

• 假设A是一个\(m\times n\)阶实矩阵，则存在一个分解使得：

  

  • 通常将奇异值从大到小排列，这样\(\sum\)就能由A唯一确定了。

• 与特征值、特征向量的概念相对应

  • \(\sum\)在对角线上的元素称为矩阵A的奇异值；
  • U的第i列称为A的关于的左奇异向量；
  • V的第i列称为A的关于的右奇异向量。

例子：

• 

线性代数

方阵的行列式

• 一阶方阵的行列式为该元素本身

  

• n阶方阵的行列式等于它的任意行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和

• \(2\times 2\)的方阵

  

代数余子式

在n阶行列式D中划去任意选定的k行、k列后，余下的元素按原来顺序组成的n-k阶行列式M，称为行列式D的k阶子式A的余子式。如果k阶子式A在行列式D中的行和列的标号分别为i1，i2，…，ik和j1，j2，…，jk。则在A的余子式M前面添加符号：

后,所得到的n-k阶行列式，称为行列式D的k阶子式A的代数余子式。

伴随矩阵

对于\(n\times n\)方阵的任意元素\(a_{ij}\)都有各自的代数余子式\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，构造\(n \times n\)的方阵\(A^*\);

\(A^*\)是A的伴随矩阵。

方阵的逆

范德蒙行列式Vandermonde

范德蒙行列式：

第n行是\(x_1,x_2,...,x_n\)的n-1次幂。

如果我们能使得\(x_1,x_2,...,x_n\)互不相等，那么矩阵\(D\)不为0，则存在\(D^{-1}\)

矩阵的乘法

A为\(m \times s\)阶矩阵，B为\(s\times n\)阶的矩阵，那么，\(C=A \times B\)是\(m\times n\)阶的矩阵，其中：

矩阵模型

考虑随机过程\(\pi\)，它的状态有n个，用1~n表示。记在当前时刻t时刻时位于i状态，它在t+1时刻处于j状态的概率为P(i,j)=P(j|i)。

即状态转移的概率只依赖于前一个状态

(思考马尔可夫过程？)

举例：

假定按照经济状况将人群分为上中下三个阶层，用123表示。假定当前处于某阶层只和上一代有关，即，考察父代为第i阶层，则子代为第j阶层的概率。假定为如下转移概率矩阵：

图解为：

概率转移矩阵

第n+1代处于第j个阶层的概率为：

矩阵P即为（条件）概率转移矩阵。

第i行元素表示，在上一状态为i时的分布概率，每一行元素的和为1.

那么思考：初始概率分布对最终分布的影响？

Think!

初始概率\(\pi =[0.21,0.68,0.1]\)迭代

初始概率\(\pi =[0.75,0.15,0.1]\)迭代

平稳分布

初始概率不同，但经过若干次迭代，\(\pi\)最终稳定收敛在某个分布上。这是转移概率矩阵P的性质，而非初始分布的性质。

上例中，矩阵P的n次幂，每行都是，这实际上就是特征向量。

如果一个非周期马尔可夫随机过程具有转移概率矩阵P，且它的任意两个状态都是连通的，则存在，记作。

In Fect，下面两种写法等价：

同时，若某概率分布\(\pi P=\pi\)，说明

• 该多项分布是状态转移矩阵P的平稳分布；

矩阵和向量的乘法

矩阵和向量的乘法应用

矩阵的秩

在\(m\times n\)矩阵A中，任取k行k列，不改变这\(k^2\)个元素在A中的次序，得到k阶方阵，称为矩阵A的k阶子式。

设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在）全等于0，那么，D称为A的最高阶非零子式，r称为A的秩，记作R(A)=r

秩与线性方程组解的关系

推论

• Ax=0有非零解的充要条件是R(A)<n
• Ax=b有解的充要条件是R(A)=R(A,b)

向量组等价

系数矩阵

将向量组A,B所构成的矩阵依次记作\(A(a_1,a_2,...,a_m)\)和\(B(b_1,b_2,...,b_m)\),B组能由A组线性表示，即对于每个向量\(b_i\)，存在\(k_{1j},k_{2j},...,k_{mj}\)

使得：

从而得到系数矩阵K

对C=AB的重新认识

由上，若\(C= A\times B\)，则矩阵C的列向量由A的列向量线性表示，B即为这一表示的系数矩阵；C同样由B的行向量线性表示，A为这一表示的系数矩阵。

向量组\(B:b_1,b_2,...,b_n\)能由向量组\(A:a_1,a_2,...,a_n\)线性表示的充要条件是矩阵\(A=(a_1,a_2,...,a_n)\)的秩等于矩阵\((A,B)=(a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n)\)的秩。

正交阵

若n阶矩阵A满足\(A^TA=I\)，称A为正交矩阵，简称正交阵。

I为对角线为1，其他为0的矩阵

A是正交阵，x为向量，则Ax称作正交变换。

正交变换不改变向量长度。

特征值和特征向量

A是n阶矩阵，若数\(\lambda\)和n纬非0列向量x满足\(Ax=\lambda x\)，那么数\(\lambda\)称为A的特征值，x称为对应于特征值的特征向量。

特征值的性质

设n阶矩阵\(A(a_{ij})\)的特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n\)，则：

\(\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}\)

\(\lambda_1\lambda_2...\lambda_n=|A|\)

矩阵A主对角线行列式的元素和，称作矩阵A的迹

不同特征值对应的特征向量

• 不同特征值对应的特征向量，线性无关。

• 若方阵A是对称阵，结论是否加强？

  

引理

实对称阵的特征值是实数

应用：

将实数\(\lambda\)带入方程组\((A-\lambda I)x=0\)，该方程组为实系数方程组，因此，实对称阵的特征向量可以取实向量。

实对称阵的不同特征值的特征向量正交

令实对称阵为A,其两个不同的特征值\(\lambda_1 \lambda_2\)对应的特征向量分别是\(\mu_1\mu_2\)；

最终结论

正定阵

对于n阶方阵A，若任意n阶向量x，都有\(x^TAx>0\)则称A是正定阵。

若条件变为\(x^TAx\ge0\)，则A称作半正定阵。

类似的还有负定阵，半负定阵。

给定任意\(m\times n\)的矩阵A，证明\(A^TA\)一定是半正定阵。

正定阵的判定

• 对称阵A为正定阵；
• A的特征值都为正；
• A的顺序主子式大于0；
• 以上三个命题等价。

例题：

定义证明：

向量的导数

A为\(m\times n\)的矩阵，x为\(n \times1\)的列向量，则Ax为\(m\times1\)的列向量，记为:

推导

令：

从而：

结论与直接推广

注意

关于列向量求导，资料中有如下方案：

以上公式将会导致向量间求导得到“超越矩阵”-矩阵的每个元素仍然是一个矩阵，不利于应用。

标量对向量的导数

推导公式：

标量对方阵的导数