Note -「最大团-最小度不等式」

  这是什么奇怪的名字qwq。

一些定义

  只为便于理解，没有苛求专业的定义。

• 简单无向图：不存在重边、自环的无向图。

• \(\delta(G)\)：无向图 \(G\) 中结点的最小度数。即 \(\min\{d(u)|u\in V\}\)。

• 完全图：两两结点都有且仅有一条直接连边的无向图。拥有 \(n\) 个结点的完全图记作 \(K_n\)。

• 团：\(G\) 的生成子图且为完全图。

• 最大团：是团且结点数最大。

  由于没有找到类似的定义，我们定义 \(M(G)\) 为 \(G\) 的最大团的结点数。

问题引入

  本来是一道小升初题，不过为了方便叙述以及保护读者的自尊心，我们直接抽象为图论模型。

  给定简单无向图 \(G=(V,E)\)，其中 \(|V|=99,\delta(G)\ge67\)，求证 \(M(G)\ge4\)。

证明

  小学二年级的知识呐！

  取 \((v_i,v_j)\in E\), 令:

\[A=\{v_k|(v_i,v_k)\in E\land v_k\not=v_j\}
\]

\[B=\{v_k|(v_j,v_k)\in E\land v_k\not=v_i\}
\]

  \(\because \delta(G)\ge67\Rightarrow d(v_i),d(v_j)\ge67\).

  \(\therefore |A|,|B|\ge66\).

  对于 \(A,B\), 有全集 \(I=\{v_k|v_k\not=v_i\land v_k\not=v_j\}\). 则 \(|I|=|V|-2=97\).

  \(\therefore |A\cap B|\ge\max\{|A|+|B|-|I|,0\}=35\).

  再取 \(s\in A\cap B\).

  \(\because|\complement_V(A\cap B)|\le64<66\le d(s)\).

  \(\therefore(\exists t\in A\cap B)\left((s,t)\in E\right)\).

  \(\therefore\) 此时 \(\{v_i,v_j,s,t\}\) 在 \(G\) 中的诱导子图是完全图.

  \(\therefore\delta(G)\ge4\). QED.

初步推广

  当 \(|V|=1751,\delta(G)\ge1314\)，\(M(G)\ge5\)。

  留作习题owo！

  可以发现，由 \(|V|\) 和 \(\delta(G)\) 构成的分式似乎会与 \(M(G)\) 产生联系……

推广结论

  对于任意简单无向图 \(G=(V,E)\)，有：

\[M(G)\ge\left\lceil\frac{|V|}{|V|-\delta(G)}\right\rceil
\]

证明

  令 \(n_0=\lceil\frac{|V|}{|V|-\delta(G)}\rceil\), 则只需证 \((\forall n\le n_0)(\exists K_n)\left(K_n\subseteq G\right)\) 即可.

  对 \(n\) 归纳证明:

• \(1).\) 当 \(n=1\), 显然存在 \(K_1\), 成立.

• \(2).\) 设 \(n=m-1<n_0\) 时存在 \(K_m\), 成立, 考虑 \(n=m\) 时:

    取任意 \(K_m\subseteq G\), 令为 \(K=(V_K,E_K)\). 不妨设在 \(G\) 中, \(v\in V_K\) 的结点为 \(v_1,v_2,\dots v_m\).

    令集合 \(\{A_m\}\), 其中 \(A_i~(i=1,2,\dots,m)\) 有:

  \[A_i=\{v_j|v_j\not\in V_k\land(v_i,v_j)\in E\}
  \]

    \(\because|V-V_K|=|V|-m,(\forall i)\left(|A_i|\ge\delta(G)-m+1\right)\).

    即全集大小为 \(|V|-m\), 每个集合大小不小于 \(\delta(G)-m+1\). 由集合交的最小大小公式 ( 自行脑补即可 ), 有:

  \[|\bigcap_{i=1}^mA_i|\ge\sum_{i=1}^m|A_i|-(m-1)(|V|-m)\\
  \Rightarrow |\bigcap_{i=1}^mA_i|\ge m(\delta(G)-m+1)-(m-1)(|V|-m)\\
  \Rightarrow |\bigcap_{i=1}^mA_i|\ge m\delta(G)-m|V|+|V|
  \]

    \(\because m<n_0-1\).

    \(\therefore m<\frac{|V|}{|V|-\delta(G)}\Rightarrow m(\delta(G)-|V|)+|V|>0\Rightarrow m\delta(G)-m|V|+|V|>0\).

    \(\therefore|\bigcap_{i=1}^mA_i|>0\).

    \(\therefore\exists s\in|\bigcap_{i=1}^mA_i|\). 此时 \(\{v_1,v_2,\dots,v_m,s\}\) 在 \(G\) 中的诱导子图构成 \(K_{m+1}\).

    \(\therefore n=m\) 时成立.

  由 \(1).~2).\) 原命题成立, QED.

结语

  不知道这个结论对最大团算法有没有什么帮助w。

  本文命题及证明过程为笔者独立完成，目前没有在网上找到类似命题。如发现该命题或证明过程存在问题，或命题此前文献中出现，欢迎给笔者留言。

  然而一个初一（现在初二）学生的脑洞也不至于成 paper。