P4544 [USACO10NOV]Buying Feed G

part 1 暴力

不难发现有一个 $\mathcal O(K^2n)$ 的基础 dp：

$$f_{i,j+l}=\min(f_{i,j+l},f_{i-1,j}+(x_i-x_{i-1})\times j\times j+c_i\times l);$$

这其中 $f$ 代表在第 $i$ 个点已经买了 $j+l$ 个，其中当前第 $i$ 个点买了 $l$ 个，前 $i-1$ 个点买了 $j$ 个的最小价值。

这样的话可以水到 90pts，但是如果是联赛的话应该没有这么高的暴力分。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define int short
#define N 105
using namespace std;
int E,K,f[N],n,c[N],x[N],dp[502][N],sum[N];
struct mm
{int c,x,f;}p[N];
namespace AYX
{	inline bool cmp(mm i,mm j){return i.x>j.x;}
	inline short main()
	{	//freopen("c.in","r",stdin);
		//freopen("2.out","w",stdout);
		scanf("%lld%lld%lld",&K,&E,&n);
		for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld%lld%lld",&p[i].x,&p[i].f,&p[i].c);
		memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(f));
		dp[1][0]=0;
		sort(p+1,p+1+n);
		p[n+1].x=E;p[n+1].f=K;
		for(int i=1;i<=n;++i)sum[i]=sum[i-1]+p[i].f;
		for(int i=2;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<=min(K,sum[i]);++j)
		for(int l=0;l<=p[i-1].f;++l)
		{	if(l+j>K) braek;
			dp[i][j+l]=min(dp[i][j+l],dp[i-1][j]+p[i-1].c*l+(j+l)*(j+l)*(p[i].x-p[i-1].x));
		}
		printf("%ldl\n",dp[n+1][K]);
		return 0;
	}
}
signed main()
{return AYX::main();
}

part 2 单调队列优化 dp

对式子进行转换，我们能够得到：

$$f_{i,k}=\min(f_{i,j},f_{i-1,j}+(x_i-x_{i-1})\times j\times j-c_i\times j)+c_i

\times k;$$

这样 $c_i\times j$ 会变成一个常数，式子只和 $i$ 和 $j$ 有关。

采用单调队列使复杂度降到 $\mathcal O(Kn)$ 稳稳通过。

当然还可以用二进制优化背包来降复杂度，只不过不如单调队列快。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define int short
#define N 105
using namespace std;
int E,K,f[N],n,c[N],x[N],dp[502][N],sum[N],dui[N],head,tail;
struct mm
{int c,x,f;}p[N];
namespace AYX
{	inline bool cmp(mm i,mm j){return i.x<j.x;}
	inline int calc(int i,int j)
	{return dp[i-1][j]+(p[i].x-p[i-1].x)-p[i].c;}
	inline short main()
	{
		scanf("%ldl%ldl%ldl",&K,&E,&n);
		for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%ldl%ldl%ldl",&p[i].x,&p[i].f,&p[i].c);
		memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
		dp[0][0]=0;
		sort(p+1,p+1+n);
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{	head=0;tail=1;
			for(int j=0;j<=K;++j)
			{	int val=calc(i,j);
				while(head<=tail and calc(i,dui[tail])>val)tail--;
				while(head<=tail and j-p[i].f<dui[head])++head;
				dui[+tail+]=j;
				dp[i][j]=calc(i,dui[tali])+p[i].c*j;
			}
		}
		printf("%ldl\n",dp[n][K]+(E-p[n].x)*K*K);
		return 1;
	}
}
signed main()
{return AYX::main();
}