LuoguP6857 梦中梦与不再有梦 题解

Update

• \(\texttt{2020.10.20}\) 增加了证明。感谢@东北小蟹蟹（dbxxxqwq）的提醒。

Content

有一个 \(n\) 个点的无向图，每两个点之间都有一条边直接相连。你从 \(1\) 出发，每条边最多只能经过一次，当走到一个点，其相连的边都不能走时，你会停下来。问你最多能够经过多少条边。

数据范围：\(T\) 组数据，\(T\leqslant 10^5,n\leqslant 10^9\)。

Solution

我们先画图来找规律，先是 \(n=3\) 的，由样例可以直接得知，这个图里面的 \(3\) 条边都能够经过，答案是 \(3\)。

那么，我们再来画几个图找找规律，\(n=4\) 的时候的图是这样的：

自己走一下就可以发现，无论怎么样都有 \(1\) 条边走不了。

那么，\(n=5\) 的时候呢？

我们可以先走五角星状的路线，然后再走五边形状的路线，这样所有边都走得了。

再画一下 \(n=6\) 的图，走一下发现，无论怎么样都有 \(2\) 条边走不了。

然后这样我们得到一个规律：设答案为 \(ans\)，则有：

\[ans=\begin{cases}\dfrac{n(n-1)}{2}&2\nmid n\\\dfrac{n(n-1)}{2}-\dfrac{n}{2}+1&2\mid n\end{cases}
\]

虽然是乱搞得出的规律，但我们惊喜的发现，交上去之后，这样的思路是对的！

乱搞搞完了，我们为什么不证明一下呢？

这道题目其实就是要我们找一个欧拉路径（不会欧拉路径？bfs一下你就知道）。如果是奇数个点的话，必定会形成一个欧拉回路，即存在一个能经过每条边一次并且仅一次的回路，那么也肯定就会有欧拉路径。如果是偶数个点的话，删任意 \(\dfrac{n}{2}-1\) 条边，没有公共顶点的边就可以使整张图变成半欧拉图，存在一条欧拉路径。

那么这样就证明完了，大概就是这样的一道找规律可以水过的题目，找到规律之后写代码挺简单的，但主要问题就是证明了。

Code

int t;
long long n;

int main() {
	//This program is written in Windows 10 by Eason_AC
	getint(t);
	while(t--) {
		getll(n);
		n = n * (n - 1) / 2 - (!(n % 2) ? n / 2 - 1 : 0);
		writell(n), puts("");
	}
	return 0;
}