【COGS2652】秘术「天文密葬法」（长链剖分，分数规划）

【COGS2652】秘术「天文密葬法」（长链剖分，分数规划）

题面

Cogs

上面废话真多，建议直接拉到最下面看一句话题意吧：

给个树，第i个点有两个权值ai和bi，现在求一条长度为m的路径，使得Σai/Σbi最小

题解

看到这个式子就是裸的分数规划吧。。。

二分一个答案\(k\)，式子变成了找一条长度为\(m\)的路径(题目里面路径长度的定义是点数)

满足\(\sum a-k\sum b\le 0\)。

首先直接把\(m=-1\)也就是没有限制的点直接判掉，这个东西没有任何意义。

（其实\(m=1\)的和没有限制是一样的。。。。）

现在把每个点的点权化为\(V_i=a_i-kb_i\)，要找出一条长度为\(m\)的路径使得点权和最小。

很明显，对于一个点的子树中，我们只需要维护在相同深度中，距离它的点权和最小的那个点的点权和，距离当前根节点这个东西很不好转移，直接变成距离整棵树的根节点的距离，这样子直接减一下就好了。

那么链就只有两种情况了，一种是在一个\(LCA\)的地方转一下，这个在暴力更新轻儿子贡献的时候直接算一下。另一种是根节点向下延伸了\(m\)，这个在更新完了只有直接\(check\)一下就好了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 200200
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
struct Line{int v,next;}e[MAX<<1];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;}
double ans=1e18,V[MAX];
int a[MAX],b[MAX];
int n,m,md[MAX],dep[MAX],hson[MAX],len[MAX];
void dfs1(int u,int ff)
{
	md[u]=dep[u]=dep[ff]+1;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;if(v==ff)continue;
		dfs1(v,u);
		if(md[v]>md[hson[u]])hson[u]=v;
	}
	if(hson[u])md[u]=md[hson[u]];len[u]=md[u]-dep[u]+1;
}
double tmp[MAX],*f[MAX],*id=tmp;
void dfs2(int u,int ff)
{
	if(hson[u])f[hson[u]]=f[u]+1,dfs2(hson[u],u);
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;if(v==ff||v==hson[u])continue;
		f[v]=id;id+=len[v];dfs2(v,u);
	}
}
void dfs(int u,int ff)
{
	V[u]+=V[ff];f[u][0]=V[u];
	if(hson[u])dfs(hson[u],u);
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;if(v==ff||v==hson[u])continue;
		dfs(v,u);
		for(int j=0;j<len[v];++j)
			if(len[u]>m-j-1&&m-j-1>=0)ans=min(ans,f[u][m-j-1]+f[v][j]-V[u]-V[ff]);
		for(int j=0;j<len[v];++j)
			f[u][j+1]=min(f[u][j+1],f[v][j]);
	}
	if(len[u]>m)ans=min(ans,f[u][m]-V[ff]);
}
int main()
{
	freopen("cdcq_b.in","r",stdin);
	freopen("cdcq_b.out","w",stdout);
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)b[i]=read();
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
		int u=read(),v=read();
		Add(u,v);Add(v,u);
	}
	if(m==-1)
	{
		for(int i=1;i<=n;++i)ans=min(ans,1.0*a[i]/b[i]);
		printf("%.2lf\n",ans);
		return 0;
	}
	dfs1(1,0);f[1]=id;id+=md[1];dfs2(1,1);
	double l=0,r=1e9;m-=1;
	while(r-l>=1e-5)
	{
		double mid=(l+r)/2;ans=1e18;
		for(int i=1;i<=n;++i)V[i]=a[i]-mid*b[i],tmp[i]=1e18;
		dfs(1,0);
		if(ans<=0)r=mid;else l=mid;
	}
	if(l>=5e8)puts("-1");else printf("%.2lf\n",l);
	return 0;
}