【UVALive - 6534 】Join two kingdoms （树的直径的期望）

bupt spring training for 2015 #2nd J

题意

给两棵树，分别有 n，m 个节点(1 ≤ N, Q ≤ 4 × 10^4)，等概率连接属于不同树的两个节点，求新树的直径（最远两点的距离）的期望。

题解

首先找每个点最远的距离，方法是第一次 dfs 找到树直径的一端，再从这个端点 dfs 找到直径的另一个端点，再从另一个端点 dfs 一遍，最远距离就是到两个端点的距离的较大值。

并且由两个端点也求出了树的直径 len，也就是一个端点到另一个端点的距离。

接下来对一棵树的每个点的最远距离数组 ds 排序，计算前缀和 s 。

然后对另一棵树每个点 i（下标是i+n），二分找出对方的树有多少个点的 ds 是不超过 len-ds[i+n]-1 的，则 i 和这些点相连时，\(ds[i+n]+1+ds[j]\leq len\)，所以新直径是len，剩下的点新直径就是ds[i+n]+1+ds[j]，用前缀和加快一下。最后除以n*m，因为是求期望。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005
using namespace std;
struct edge{int to,next;}e[N<<1];
int head[N],cnt;
void add(int u,int v){e[cnt]=(edge){v,head[u]};head[u]=cnt++;}
void init(){memset(head,-1,sizeof head);cnt=0;}
int d[N],d2[N],ds[N];
int deep,dex;
ll s[N],ans;
void dfs(int x,int fa){
    if(d[x]>=deep)deep=d[x],dex=x;
    for(int i=head[x];~i;i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa)continue;
        d[v]=d[x]+1;
        dfs(v,x);
    }
}
int getDep(int x,int ed){
    deep=0;d[x]=0;dfs(x,0);
    d[dex]=0;dfs(dex,0);
    for(int i=x;i<=ed;++i)d2[i]=d[i];
    d[dex]=0;dfs(dex,0);
    for(int i=x;i<=ed;++i)ds[i]=max(d[i],d2[i]);
    return deep;
}
int main(){
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        init();ans=0;
        for(int u,v,i=1;i<n;++i)scanf("%d%d",&u,&v),add(u,v),add(v,u);
        for(int u,v,i=1;i<m;++i)scanf("%d%d",&u,&v),add(u+n,v+n),add(v+n,u+n);

        int len=max(getDep(1,n),getDep(n+1,n+m));

        sort(ds+1,ds+1+n);
        for(int i=1;i<=n;++i)s[i]=s[i-1]+ds[i];
        for(int i=1;i<=m;++i){
            int b=lower_bound(ds+1,ds+1+n,len-ds[i+n]-1)-ds-1;
            ans+=(ll)b*len+(ll)(n-b)*ds[i+n]+(n-b)+s[n]-s[b];
        }
        printf("%.3f\n",ans*1./(n*m));
    }
    return 0;
}