C#版 - 剑指offer 面试题9：斐波那契数列及其变形(跳台阶、矩形覆盖) 题解

面试题9：斐波那契数列及其变形(跳台阶、矩形覆盖)

提交网址： http://www.nowcoder.com/practice/c6c7742f5ba7442aada113136ddea0c3?tpId=13&tqId=11160

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题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项 Fibonacci(int n)。

分析：

用递归会TLE，因为有不少地方进行了重复计算，改为循环即可解决(迭代法)...

另外为了避免输入非法值(比如负数)，输入改为了unsigned int

\(fib(n)=\begin{cases} 1 &  n=0 \\

 1 & n=1 \\ 

 fib(n)+f(n-1) & n > 1  \ and \  n \in N \end{cases}\)

AC代码：

class Solution {
public:
    int Fibonacci(unsigned int n) {

        int arr[2]={0,1};
        if(n<2) return arr[n];

        long long fib_2preN=0;      // fib(0)
        long long fib_1preN=1;      // fib(1)
        long long fib_N=0;

        for(int idx=2; idx <= n; idx++)
        {
            fib_N=fib_2preN+fib_1preN;
            fib_2preN=fib_1preN;
            fib_1preN=fib_N;
        }
        return fib_N;
    }
};

剑指offer 面试题9 变形1(跳台阶)

提交网址： http://www.nowcoder.com/practice/8c82a5b80378478f9484d87d1c5f12a4?tpId=13&tqId=11161

题目描述：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

输入：

输入可能包含多个测试样例，对于每个测试案例，

输入包括一个整数n(1<=n<=70)。

输出：

对应每个测试案例，

输出该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

样例输入：

5

样例输出：

8

分析：

青蛙跳上n级台阶的跳法情况( s(n) )，第1次跳的时候有两种选择： 

(1) 如果第1次跳时选择跳过1级台阶，那么还剩下n - 1级台阶，而跳上n – 1级台阶的跳法数目是s(n - 1)； 

(2) 如果第1次跳时选择跳过2级台阶，那么剩下n - 2级台阶，而跳上n – 2级台阶的跳法数目是s(n - 2)。

\(s(n)=\begin{cases} 1 &  n=1 \\

 1 & n=2 \\ 

 s(n)+s(n-1) & n > 2  \ and \  n \in N \end{cases}\)

如果使用递归，会TLE超时，此处还是需要用迭代法...

AC代码：

class Solution {
public:
    int  jumpFloor(int n) {
        if(n<0) return 0;

        if(n==1) return 1;
        if(n==2) return 2;

        long long s_2preN=1;      // s(1)
        long long s_1preN=2;      // s(2)
        long long s_N=1;

        for(int idx=3; idx <= n; idx++)
        {
            s_N=s_2preN+s_1preN;
            s_2preN=s_1preN;
            s_1preN=s_N;
        }
        return s_N;
    }
};

leetcode 70. Climbing Stairs

提交网址： https://leetcode.com/problems/climbing-stairs/

这有个奇怪的要求，n<0时，返回1

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n<0) return 1;

        if(n==1) return 1;
        if(n==2) return 2;

        long long s_2preN=1;      // s(1)
        long long s_1preN=2;      // s(2)
        long long s_N=1;

        for(int idx=3; idx <= n; idx++)
        {
            s_N=s_2preN+s_1preN;
            s_2preN=s_1preN;
            s_1preN=s_N;
        }
        return s_N;
    }
};

剑指offer 面试题9 变形2(变态跳台阶)

提交网址： http://www.nowcoder.com/practice/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387?tpId=13&tqId=11162

题目描述：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

输入：

输入可能包含多个测试样例，对于每个测试案例，

输入包括一个整数n(1<=n<=50)。

输出：

对应每个测试案例，

输出该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

样例输入：

6

样例输出：

32

分析：

青蛙跳上n级台阶的跳法情况(s(n))，第1次跳的时候： 

(1) 如果第1次跳时选择跳过1级台阶，那么还剩下n-1级台阶，而跳上n – 1级台阶的跳法数目是s(n-1)； 

(2) 如果第1次跳时选择跳过2级台阶，那么剩下n-2级台阶，而跳上n – 2级台阶的跳法数目是s(n-2)。 

(3) 如果第1次跳时选择跳过3级台阶，剩下n-3台阶, 而跳上n –3级台阶的跳法数目是s(n-3)。 

……

故总数为s(n) = s(n-1) + s(n-2) + … + s(2) + s(1) + s(0) . 

s(n-1)= s(n-2) + … + s(2) + s(1) + s(0) 

两式相减得： 

s(n) =2*s(n-1) 

s(1)=1 

对于s(0)，由s(2)=s(1)+s(0)=2可得s(0)=1.

\(s(n)=\begin{cases} 1 &  n=0 \\

 1 & n=1 \\ 

 2\cdot s(n) & n > 1  \ and \  n \in N \end{cases}\)

依旧需要用迭代法...

AC代码：

class Solution {
public:
    int  jumpFloorII(int n) {
        if(n<0) return 0;

        if(n==0 || n==1) return 1;

        long long s_N=1; // s(1)

        for(int idx=2; idx <= n; idx++)
        {
            s_N=2*s_N;
        }
        return s_N;
    }
};

剑指offer 面试题9(变形3) 矩形覆盖

提交网址：  http://www.nowcoder.com/practice/72a5a919508a4251859fb2cfb987a0e6?tpId=13&tqId=11163

题目描述：

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

输入：

输入可能包含多个测试样例，对于每个测试案例，

输入包括一个整数n(0<=n<=70)。

输出：

对应每个测试案例，

输出用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有的方法数。

样例输入：

4

样例输出：

5

分析： 

2*n的覆盖方法情况总数为 f(n)，假设2*n的大矩形高度为2(躺着放)，当第一个2*1小矩形放在最左边的角落时： 

(1) 如果第一个2*1小矩形选择竖着放，那么还剩下2*n-1的区域，而2*n-1区域的覆盖数目是f(n-1)； 

(2) 如果第一个2*1小矩形选择横着放，那么上面必须再放一个2*1小矩形，同时还剩下2*n - 2区域，而2*n-2区域的覆盖数目是f(n-2)；

所以总数为f(n) = f(n-1) + f(n-2) . 

f(1)=1 

对于f(0)，由f(2)=f(1)+f(0)=2可知 f(0)=1.

\(f(n)=\begin{cases} 1 &  n=0 \\

 1 & n=1 \\ 

 f(n)+f(n-1) & n > 1  \ and \  n \in N \end{cases}\)

AC代码：

class Solution {
public:
   int rectCover(int number) {
        if(number<0) return 0; //  if(number<0 || number%2) return 0; 不需要考虑奇偶
        if(number==0 || number==1) return 1;

        long long f_2preN=1;    // f(0)
        long long f_1preN=1;    // f(1)
        long long f_N=1;

        for(int idx=2; idx <= number; idx++)
        {
            f_N=f_2preN+f_1preN;
            f_2preN=f_1preN;
            f_1preN=f_N;
        }
        return f_N;
    }
};