面试题9:斐波那契数列及其变形(跳台阶、矩形覆盖)

提交网址: http://www.nowcoder.com/practice/c6c7742f5ba7442aada113136ddea0c3?tpId=13&tqId=11160

参与人数:7267  时间限制:1秒  空间限制:32768K

题目描述

大家都知道斐波那契数列,现在要求输入一个整数n,请你输出斐波那契数列的第n项 Fibonacci(int n)。

分析:

用递归会TLE,因为有不少地方进行了重复计算,改为循环即可解决(迭代法)...

另外为了避免输入非法值(比如负数),输入改为了unsigned int

\(fib(n)=\begin{cases} 1 &  n=0 \\

 1 & n=1 \\ 

 fib(n)+f(n-1) & n > 1  \ and \  n \in N \end{cases}\)

AC代码:

class Solution {
public:
int Fibonacci(unsigned int n) { int arr[2]={0,1};
if(n<2) return arr[n]; long long fib_2preN=0; // fib(0)
long long fib_1preN=1; // fib(1)
long long fib_N=0; for(int idx=2; idx <= n; idx++)
{
fib_N=fib_2preN+fib_1preN;
fib_2preN=fib_1preN;
fib_1preN=fib_N;
}
return fib_N;
}
};

剑指offer 面试题9 变形1(跳台阶)

提交网址: http://www.nowcoder.com/practice/8c82a5b80378478f9484d87d1c5f12a4?tpId=13&tqId=11161

题目描述:

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

输入:

输入可能包含多个测试样例,对于每个测试案例,

输入包括一个整数n(1<=n<=70)。

输出:

对应每个测试案例,

输出该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

样例输入:

5

样例输出:

8

分析:

青蛙跳上n级台阶的跳法情况( s(n) ),第1次跳的时候有两种选择: 

(1) 如果第1次跳时选择跳过1级台阶,那么还剩下n - 1级台阶,而跳上n – 1级台阶的跳法数目是s(n - 1); 

(2) 如果第1次跳时选择跳过2级台阶,那么剩下n - 2级台阶,而跳上n – 2级台阶的跳法数目是s(n - 2)。

\(s(n)=\begin{cases} 1 &  n=1 \\

 1 & n=2 \\ 

 s(n)+s(n-1) & n > 2  \ and \  n \in N \end{cases}\)

如果使用递归,会TLE超时,此处还是需要用迭代法...

AC代码:

class Solution {
public:
int jumpFloor(int n) {
if(n<0) return 0; if(n==1) return 1;
if(n==2) return 2; long long s_2preN=1; // s(1)
long long s_1preN=2; // s(2)
long long s_N=1; for(int idx=3; idx <= n; idx++)
{
s_N=s_2preN+s_1preN;
s_2preN=s_1preN;
s_1preN=s_N;
}
return s_N;
}
};

leetcode 70. Climbing Stairs

提交网址: https://leetcode.com/problems/climbing-stairs/

这有个奇怪的要求,n<0时,返回1

class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if(n<0) return 1; if(n==1) return 1;
if(n==2) return 2; long long s_2preN=1; // s(1)
long long s_1preN=2; // s(2)
long long s_N=1; for(int idx=3; idx <= n; idx++)
{
s_N=s_2preN+s_1preN;
s_2preN=s_1preN;
s_1preN=s_N;
}
return s_N;
}
};

剑指offer 面试题9 变形2(变态跳台阶)

提交网址: http://www.nowcoder.com/practice/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387?tpId=13&tqId=11162

题目描述:

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

输入:

输入可能包含多个测试样例,对于每个测试案例,

输入包括一个整数n(1<=n<=50)。

输出:

对应每个测试案例,

输出该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

样例输入:

6

样例输出:

32

分析:

青蛙跳上n级台阶的跳法情况(s(n)),第1次跳的时候: 

(1) 如果第1次跳时选择跳过1级台阶,那么还剩下n-1级台阶,而跳上n – 1级台阶的跳法数目是s(n-1); 

(2) 如果第1次跳时选择跳过2级台阶,那么剩下n-2级台阶,而跳上n – 2级台阶的跳法数目是s(n-2)。 

(3) 如果第1次跳时选择跳过3级台阶,剩下n-3台阶, 而跳上n –3级台阶的跳法数目是s(n-3)。 

……

故总数为s(n) = s(n-1) + s(n-2) + … + s(2) + s(1) + s(0) . 

s(n-1)= s(n-2) + … + s(2) + s(1) + s(0) 

两式相减得: 

s(n) =2*s(n-1) 

s(1)=1 

对于s(0),由s(2)=s(1)+s(0)=2可得s(0)=1.

\(s(n)=\begin{cases} 1 &  n=0 \\

 1 & n=1 \\ 

 2\cdot s(n) & n > 1  \ and \  n \in N \end{cases}\)

依旧需要用迭代法...

AC代码:

class Solution {
public:
int jumpFloorII(int n) {
if(n<0) return 0; if(n==0 || n==1) return 1; long long s_N=1; // s(1) for(int idx=2; idx <= n; idx++)
{
s_N=2*s_N;
}
return s_N;
}
};

剑指offer 面试题9(变形3) 矩形覆盖

提交网址:  http://www.nowcoder.com/practice/72a5a919508a4251859fb2cfb987a0e6?tpId=13&tqId=11163

题目描述:

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形,总共有多少种方法?

输入:

输入可能包含多个测试样例,对于每个测试案例,

输入包括一个整数n(0<=n<=70)。

输出:

对应每个测试案例,

输出用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形,总共有的方法数。

样例输入:

4

样例输出:

5

分析: 

2*n的覆盖方法情况总数为 f(n),假设2*n的大矩形高度为2(躺着放),当第一个2*1小矩形放在最左边的角落时: 

(1) 如果第一个2*1小矩形选择竖着放,那么还剩下2*n-1的区域,而2*n-1区域的覆盖数目是f(n-1); 

(2) 如果第一个2*1小矩形选择横着放,那么上面必须再放一个2*1小矩形,同时还剩下2*n - 2区域,而2*n-2区域的覆盖数目是f(n-2);

所以总数为f(n) = f(n-1) + f(n-2) . 

f(1)=1 

对于f(0),由f(2)=f(1)+f(0)=2可知 f(0)=1.

\(f(n)=\begin{cases} 1 &  n=0 \\

 1 & n=1 \\ 

 f(n)+f(n-1) & n > 1  \ and \  n \in N \end{cases}\)

AC代码:

class Solution {
public:
int rectCover(int number) {
if(number<0) return 0; // if(number<0 || number%2) return 0; 不需要考虑奇偶
if(number==0 || number==1) return 1; long long f_2preN=1; // f(0)
long long f_1preN=1; // f(1)
long long f_N=1; for(int idx=2; idx <= number; idx++)
{
f_N=f_2preN+f_1preN;
f_2preN=f_1preN;
f_1preN=f_N;
}
return f_N;
}
};

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