[转]closed-form solution （闭合解/解析解）和数值解的理解

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closed-form solution ：一般翻译为闭合解/解析解。这一般是相对于数值解而言的。

在解组件特性相关的方程式时，大多数的时候都要去解偏微分或积分式，才能求得其正确的解。依照求解方法的不同，可以分成以下两类：解析解和数值解。

解析解(analytical solution)：

就是一些严格的公式,给出任意的自变量就可以求出其因变量,也就是问题的解。他人可以利用这些公式计算各自的问题。所谓的解析解是一种包含：分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。用来求得解析解的方法称为解析法〈analytic techniques、analytic methods〉，解析法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。解析解为一封闭形式〈closed-form〉的函数，因此对任一独立变量，我们皆可将其带入解析函数求得正确的相依变量。因此，解析解也被称为闭式解（closed-form solution）。

数值解(numerical solution)：

是采用某种计算方法,如有限元的方法, 数值逼近,插值的方法, 得到的解。别人只能利用数值计算的结果, 而不能随意给出自变量并求出计算值。当无法藉由微积分技巧求得解析解时，这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了。数值方法变成了求解过程重要的媒介。在数值分析的过程中，首先会将原方程式加以简化，以利后来的数值分析。例如，会先将微分符号（连续）改为差分符号（离散）等。然后再用传统的代数方法将原方程式改写成另一方便求解的形式。这时的求解步骤就是将一独立变量带入，求得相依变量的近似解。因此利用此方法所求得的相依变量为一个个分离的数值〈discrete values〉，不似解析解为一连续的分布，而且因为经过上述简化的动作，所以可以想见正确性将不如解析法来的好。

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数值解是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值，而解析解为该函数的解析式（解析式是指用表示运算类型和运算次序的符号把数和字母连结而成的表达形式。）。解析解就是给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值；数值解就是用数值方法求出解，给出一系列对应的自变量和解。

e.g：

eq: x^2=5

solution: x=sqrt(5) -- analytical solution（解析解）

x=2.236 -- numerical solution（数值解）

个人理解：

解析解就是对于一个问题的求解，所得到的结果的解是一个函数表达式，而不是一个具体的数值或者数据，只要在这个结果函数表达式中再代入具体数值，就可以求得对应问题的数值解。

数值解则是对于问题的求解结果是一个实实在在的具体的数值或者数据，使用者不能再对这个数值或者数据做任何数值计算或化简等操作，只能利用这个数值或者数据进行分析评估计算的准确性或者是否正确表达了某个问题。