LCT 总结

刚开始学lct花了一晚上研究模板，调出来就感觉不怎么难打了。

对板子的浅显理解：

　　lct维护树形联通块，通过splay维护实链，可以把需要的路径变换到一颗splay上维护。

　　splay中的关系只依赖实边，一个点最多与两个实边相连，可以有不止两个儿子。也就是说，每个点的贡献由实边传递，必要时重分虚实来合并指定贡献。

　　 rotate 和 splay 只操作splay树。splay以深度为关键字排序。

　　 access 和 split 重新划分原树虚实，以重新划分splay的集合。

　　 makeroot 重新选原树的根，会改变原树父子关系。

　　 link 和 cut 对原树修改。

　　每次splay节点父子关系变化/访问时，需要 download 或 updata 。

　　lct的用法大概是对一条指定两端的路径进行求和、取min/max以及相应修改，并支持动态改边。把需要的路径split就可以直接访问根节点splay了。对于修改，为了避免从下往上的更新，先把节点splay到顶（splay中的根）再直接修改。

几点技巧：

　　边权变点权：在两端点之间添一个点，其余点不参与贡献。样子和圆方树有点像。

　　森林联通数：点数-变数。

几道题：

水管局长数据加强版：

　　之前模拟赛好像做过类似的题。有一道题用并查集链并，还有一道是线段树分治，具体记不清了。

　　这题的意思是寻找一条路径，使得路径上最大的边权最小化，其实是最小生成树。但有动态删边。LCT维护动态加边最小生成树比较容易，查询路径最大值就可以，但是有了删边，最大值难以维护。于是考虑离线，反过来加边就可以了。

GERALD07加强版：

　　一开始有个鬼畜的想法：分块，小块中连$\sqrt N$条边，小块之间全连起来，每次把区间两端的小块切断，在连剩下的边。复杂度够呛，空间也开不下。。。

　　这题关键在于联通块的计数。先考虑只有树形联通块：点数-变数就是了。如果是图的话，就意味着有些边在一个联通块内是多余的。考虑按序号逐个加边，当一条边的两点已经联通时，记录那条路上标号最小的边t，表示：如果t及之后的边和这条边一起出现，那么这条边就多余了。那么一段区间[l,r]的边的有效边就是t值小于l的边。用主席树维护。

魔法森林：

　　相当于有两维限制的最小生成树，要求边上两元素最大值之和最小化。这类两维限制的题，可以考虑枚举一维，最优另一维。假设最终答案为(a,b)，就是说，用A值不大于a的边和b值不大于b的边凑出的答案。我们按A从小到大枚举边，在把B那一维最优化，这样就是一维的最小生成树了。

在美妙的数学王国中畅游：

　　首先动态改边不得不用LCT维护，那么考虑路径贡献总和的维护。对于点上的函数，如果是多项式的话我们就可以把多点的系数加和，最终带入就是贡献总和。那么就要把$sin(ax+b)$和$e^{ax+b}$拟成多项式了，泰勒展开。

　　这题大概要展到20阶，少了WA0，多了TLE。一开始对一次函数的系数没有清空以为精度问题卡了半天。

情报传递：

　　虽然并没有找到LCT的做法。

　　每个情报员打上相应时间戳，查询操作即为求路径上小于$i-C_i$的点数，就是树上主席树。

　　然后有一个naive的想法是用LCT的splay直接查pre，但是这里splay以深度为键值，十分cs。