Luogu3824 [NOI2017]泳池 【多项式取模】【递推】【矩阵快速幂】

题目分析：

用数论分块的思想，就会发现其实就是连续一段的长度$i$的高度不能超过$\lfloor \frac{k}{i} \rfloor$,然后我们会发现最长的非$0$一段不会超过$k$，所以我们可以弄一个长度为$i$的非$0$段的个数称为"元"，然后用
"元"去递推。

这个"元"的求法用DP：令数论分块之后第$i$段的长度为$g[i]$

$$f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][k]*f[i][j-k-1]*g[i]$$

$$f[1][1] = 1$$

然后接下来就是一个很简单的矩阵快速幂了。

对于$k$很大的情况用多项式取模优化就行了。

代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 const int mod = ;

 int n,k,x,y;
 int maxx[],pos[],cas[],num;
 int g[][],f[];

 int FF[],ans[],dt[],zeta[];

 int fast_pow(int now,int pw){
     int ans = ,dt = now,bit = ;
     while(bit <= pw){
     if(bit & pw) ans = 1ll*ans*dt%mod;
     bit<<=; dt = 1ll*dt*dt%mod;
     }
     return ans;
 }

 void multi(int *A,int *B,int len){
     memset(zeta,,sizeof(zeta));
     for(int i=;i<len;i++){
     for(int j=;j<len;j++) zeta[i+j]+=1ll*A[i]*B[j]%mod,zeta[i+j]%=mod;
     }
     for(int i=len*;i>=len;i--){
     if(zeta[i] == ) continue;
     int pp = zeta[i],dr = (FF[len]==?:mod-);
     for(int j=i,kk=len;kk>=;kk--,j--){
         zeta[j] -= 1ll*pp*FF[kk]%mod*dr%mod;
         if(zeta[j] <) zeta[j] += mod;
     }
     }
     for(int i=;i<len;i++) A[i] = zeta[i];
 }

 void fastpow(int len,int pw){
     memset(ans,,sizeof(ans)); ans[] = ;
     memset(dt,,sizeof(dt)); dt[] = ;
     int bit = ;
     while(bit<=pw){
     if(bit & pw) multi(ans,dt,len);
     multi(dt,dt,len); bit<<=;
     }
 }

 void getbase(int now){
     memset(g,,sizeof(g));
     g[][] = ;
     for(int i=;i<=num;i++){
     g[i][] = ;
     for(int j=;j<=now/cas[i];j++){
         g[i][j] += g[i-][j]; g[i][j] %= mod;
         for(int l=;l<j;l++){
         for(int ec = cas[i+]+;ec<=cas[i];ec++){
             g[i][j]+=1ll*g[i-][l]%mod*g[i][j-l-]%mod*pos[ec]%mod;
             g[i][j] %= mod;
         }
         }
     }
     }
 }

 int work(int now){
     memset(cas,,sizeof(cas)); memset(maxx,,sizeof(maxx));
     memset(f,,sizeof(f));
     num = ;
     for(int i=;i<=now;i++) {
     maxx[i] = now/i;
     if(maxx[i] != maxx[i-]) cas[++num] = maxx[i];
     }
     getbase(now);
     f[] = ;
     for(int i=;i<=;i++){
     for(int j=;j<=now;j++){
         if(j > i) break;
         if(j == i){f[i] += g[num][i]; f[i] %= mod;}
         else{f[i]+=1ll*f[i-j-]*pos[]%mod*g[num][j]%mod;f[i]%=mod;}
     }
     }
     if(n <= ) return f[n];
     else{
     memset(FF,,sizeof(FF));
     FF[now+] = ;
     for(int i=;i<=now+;i++)
         FF[now+-i]=(mod-1ll*g[num][i-]*pos[]%mod)%mod;
     if(!(n&)){for(int i=;i<=now+;i++) FF[i] = (mod-FF[i])%mod;}
     fastpow(now+,n);
     int res = ;
     for(int i=;i<=now;i++){res += 1ll*ans[i]*f[i]%mod; res %= mod;}
     return res;
     }
 }

 int main(){
     scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&x,&y);
     x = 1ll*x*fast_pow(y,mod-)%mod;
     for(int i=;i<=k;i++){pos[i] = 1ll*fast_pow(x,i)*(mod+-x)%mod;}
     if(n == ){printf("%d\n",pos[k]);return ;}
     int ans = work(k)-work(k-);
     if(ans < ) ans += mod;
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }