8.22 NOIP模拟测试29(B) 爬山+学数数+七十和十七

T1 爬山

二分最高高度，$O（1）$判断是否可行。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,d,a,b,ans;
ll read()
{
    ll aa=,bb=;char cc=getchar();
    while(cc>''||cc<''){if(cc=='-') bb=-;cc=getchar();}
    while(cc>=''&&cc<=''){aa=(aa<<)+(aa<<)+(cc^'');cc=getchar();}
    return aa*bb;
}
bool check(ll x)
{
    ll ha=(x-a)/d,hb=(x-b)/d;
    if(d*ha<x-a) ha++;
    if(d*hb<x-b) hb++;
    if(ha+hb<=n-) return true;
    return false;
}
int main()
{
    n=read();d=read();a=read();b=read();
    if(n==){
        printf("%lld\n",max(a,b));
        return ;
    }
    ll l=max(a,b),r=d*(n-),mid;
    while(l<=r){
        mid=(l+r)>>;
        if(check(mid)){
            ans=mid;
            l=mid+;
        }
        else r=mid-;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return ;
}

爬山

T2 学数数

先离散化，用单调栈维护以一个数$x$为最大值，向左到哪，向右到哪，左$×$右就是一共有多少个区间以$x$为最大值。

用前缀和维护以$x$为最大值的区间有多少个，询问的时候$lower_bound$二分位置直接查询。

对于后$40%$的数据中，存在重复的数，那么找左右边界的时候左闭右开（左开右闭也可以），就可以避免这种情况。

记得开$long long$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#define ll long long
using namespace std;
struct node
{
    ll x,id,l,r;
}h[];
ll n,Q,t[],p[];
stack<node>s;
set<ll>st;
map<ll,ll>mp;
char ch[];
ll read()
{
    ll aa=,bb=;char cc=getchar();
    while(cc>''||cc<''){if(cc=='-') bb=-;cc=getchar();}
    while(cc>=''&&cc<=''){aa=(aa<<)+(aa<<)+(cc^'');cc=getchar();}
    return aa*bb;
}
bool cmp1(node a,node b)
{
    return a.x<b.x;
}
bool cmp2(node a,node b)
{
    return a.id<b.id;
}
int main()
{
    //freopen("test.in","r",stdin);
    //freopen("4.out","w",stdout);
    n=read();Q=read();
    for(int i=;i<=n;i++){
        h[i].x=read();
        h[i].id=i;
        st.insert(h[i].x);
    }
    ll num=;
    while(st.size()){
        mp[*st.begin()]=++num;
        p[num]=*st.begin();
        st.erase(*st.begin());
    }
    sort(h+,h+n+,cmp1);
    for(int i=;i<=n;i++) h[i].x=mp[h[i].x];
    sort(h+,h+n+,cmp2);
    for(int i=;i<=n;i++){
        ll x=h[i].x;
        while(s.size()&&s.top().x<=x) s.pop();
        if(s.size()) h[i].l=s.top().id+;
        else h[i].l=;
        s.push(h[i]);
    }
    while(s.size()) s.pop();
    for(int i=n;i>=;i--){
        ll x=h[i].x;
        while(s.size()&&s.top().x<x) s.pop();
        if(s.size()) h[i].r=s.top().id;
        else h[i].r=n+;
        s.push(h[i]);
    }
    sort(h+,h+n+,cmp1);
    for(int i=;i<=n;i++){
        t[h[i].x]=t[h[i-].x]+(h[i].id-h[i].l+)*(h[i].r-h[i].id);
    }
    ll x;
    for(int i=;i<=Q;i++){
        scanf("%s",ch);x=read();
        ll pos=lower_bound(p+,p+num+,x)-p;
        if(ch[]=='>'){
            if(p[pos]==x) printf("%lld\n",t[num]-t[pos]);
            else printf("%lld\n",t[num]-t[pos-]);
        }
        if(ch[]=='='){
            if(p[pos]==x) printf("%lld\n",t[pos]-t[pos-]);
            else puts("");
        }
        if(ch[]=='<'){
            if(p[pos]==x) printf("%lld\n",t[pos-]);
            else printf("%lld\n",t[pos-]);
        }
    }
    return ;
}

学数数

T3 七十和十七

设$f[i]$为长度为$i$的序列（不是排列）中计数器的大小。假设现在已知$f[i-1]$

那么第$i$位与前面的相对大小关系一共有i种

1.第$i$位相对大小为i，对计数器没有任何影响，直接转移 $f[i]=f[i-1]$

2.第$i$位相对大小小于$i$ (即$1~i-1$)，设为$j$，那么计数器的值就需要增加$2^{j-1}$ （可以拿几个数试一下），对于前$i-1$个数，他们的顺序有$（i-1）！$种，所以$ f[i]=f[i-1]+2^{j-1}*(i-1)!$

综上，

$f[i]=f[i-1]+(f[i-1]+2^{1-1}*(i-1)!)+(f[i-1]+2^{2-1}*(i-1)!)+(f[i-1]+2^{3-1}*(i-1)!)...+(f[i-1]+2^{i-1-1}*(i-1)!)$

发现$2$的多少次方是一个等比数列，可以直接用前$i-1$项和公式求出来，剩下$i$个$f[i-1]$相加

最终得到$f[i]=f[i-1]*i+(2^{i-1}-1)*(i-1)!$

答案即为$f[n]/n!$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define mod 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
ll n,ans,f[];
ll quick(ll x,ll p)
{
    ll as=;
    while(p){
        if(p&) as=as*x%mod;
        x=x*x%mod;
        p>>=;
    }
    return as;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    ll sum=,tot=;
    for(ll i=;i<=n;i++){
        f[i]=(f[i-]*i%mod+(tot-)*sum%mod)%mod;
        tot=tot*%mod;
        sum=sum*i%mod;
    }
    printf("%lld\n",f[n]*quick(sum,mod-)%mod);
    return ;
}

七十和十七