【51Nod 1769】Clarke and math2

【51Nod 1769】Clarke and math2

题面

51Nod

题解

对于一个数论函数\(f\)，\(\sum_{d|n}f(d)=(f\times 1)(n)\)。

其实题目就是要求\(g=f\times 1^k\)。

考虑\(1^k(n)\)怎么求，因为\(1(n)\)是个积性函数，所以\(1^k(n)\)也是个积性函数。

我们考虑对于\(n\)的每个质因子\(p\)和它的次数\(r\)，求出对应函数的值。

那么就相当于在每个不同的\(i_{j-1}\)及\(i_j\)中插入一个质因子，表示乘上\(p\)倍，也可以在同一个位置插。

那么根据排列组合，这个问题的答案就是\(k-1+r\choose r\)，然后把每个质因数的贡献乘起来就是答案。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int Mod = 1e9 + 7;
inline int gi() {
    register int data = 0, w = 1;
    register char ch = 0;
    while (!isdigit(ch) && ch != '-') ch = getchar();
    if (ch == '-') w = -1, ch = getchar();
    while (isdigit(ch)) data = (10ll * data + ch - '0') % Mod, ch = getchar();
	return w == 1 ? data : (-data + Mod) % Mod;
}
int fpow(int x, int y) {
	int res = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) res = 1ll * res * x % Mod;
		x = 1ll * x * x % Mod;
		y >>= 1;
	}
	return res;
}
const int MAX_N = 5e5 + 5;
int fac[25], ifc[25], C[25];
int N, K, f[MAX_N], g[MAX_N], h[MAX_N], cur[MAX_N]; 

int main () {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("cpp.in", "r", stdin);
#endif
	fac[0] = 1; for (int i = 1; i <= 20; i++) fac[i] = 1ll * i * fac[i - 1] % Mod;
	ifc[20] = fpow(fac[20], Mod - 2);
	for (int i = 19; ~i; i--) ifc[i] = 1ll * ifc[i + 1] * (i + 1) % Mod;
	N = gi(), K = gi();
	for (int i = 1; i <= N; i++) f[i] = gi(), g[i] = 1, cur[i] = i;
	for (int i = 0; i <= 20; i++) {
		int nw = (i + K - 1) % Mod; C[i] = ifc[i];
		for (int j = 0; j < i; j++) C[i] = 1ll * C[i] * (nw - j + Mod) % Mod;
	}
	for (int i = 2; i <= N; i++) {
		if (cur[i] == 1) continue;
		for (int j = i; j <= N; j += i) {
			int k = 0;
			while (cur[j] % i == 0) ++k, cur[j] /= i;
			g[j] = 1ll * g[j] * C[k] % Mod;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= N; i++)
		for (int j = i; j <= N; j += i)
			h[j] = (h[j] + 1ll * f[i] * g[j / i]) % Mod;
	for (int i = 1; i <= N; i++) printf("%d ", h[i]);
	putchar('\n');
    return 0;
}