高斯消元法求解异或方程组： cojs.tk 539.//BZOJ 1770 牛棚的灯

高斯消元求解异或方程组：

比较不错的一篇文章：http://blog.sina.com.cn/s/blog_51cea4040100g7hl.html

cojs.tk  539. 牛棚的灯

★★☆   输入文件：lights.in   输出文件：lights.out   简单对比
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【问题描述】

贝希和她的闺密们在她们的牛棚中玩游戏。但是天不从人愿，突然，牛棚的电源跳闸了，所有的灯都被关闭了。贝希是一个很胆小的女生，在伸手不见拇指的无尽的黑暗中，她感到惊恐，痛苦与绝望。她希望您能够帮帮她，把所有的灯都给重新开起来！她才能继续快乐地跟她的闺密们继续玩游戏！

牛棚中一共有N（1 <= N <= 35）盏灯，编号为1到N。这些灯被置于一个非常复杂的网络之中。有M（1 <= M <= 595）条很神奇的无向边，每条边连接两盏灯。

每盏灯上面都带有一个开关。当按下某一盏灯的开关的时候，这盏灯本身，还有所有有边连向这盏灯的灯的状态都会被改变。状态改变指的是：当一盏灯是开着的时候，这盏灯被关掉；当一盏灯是关着的时候，这盏灯被打开。

问最少要按下多少个开关，才能把所有的灯都给重新打开。

数据保证至少有一种按开关的方案，使得所有的灯都被重新打开。

题目名称：lights

输入格式：

＊第一行：两个空格隔开的整数：N和M。

＊第二到第M+1行：每一行有两个由空格隔开的整数，表示两盏灯被一条无向边连接在一起。
没有一条边会出现两次。

样例输入（文件 lights.in）：

5 6
1 2
1 3
4 2
3 4
2 5
5 3

输入细节：

一共有五盏灯。灯1、灯4和灯5都连接着灯2和灯3。

输出格式：

第一行：一个单独的整数，表示要把所有的灯都打开时，最少需要按下的开关的数目。

样例输出（文件 lights.out）：

3

输出细节：

按下在灯1、灯4和灯5上面的开关。

hwzer的代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #define inf 1000000000
 #define ll long long
 using namespace std;
 inline int read()
 {
     int x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 int n,m,tot;
 int mn=inf;
 int f[][],ans[];
 void gauss()
 {/*一共有n个方程，n个变量*/
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int j=i;/*第i行第i列是要向下消元的，如果该行是0，就找一个不是0的一行和他互换后，向下消元，如果j>n，说明所有行的第i列都是0，那就不用消元了*/
         while(j<=n&&!f[j][i])j++;
         if(j>n)continue;
         if(i!=j)for(int k=;k<=n+;k++)swap(f[i][k],f[j][k]);/*互换*/
         for(int j=i+;j<=n;j++)/*用第i行向下消元*/
             if(i!=j&&f[j][i])/*消元时，只消这一项不是0的方程即可*/
                 for(int k=;k<=n+;k++)/*消这个方程的时候要把所有的量的都对应相消*/
                     f[j][k]^=f[i][k];
     }
 }
 /*，因为，上面只是求出一组解，并不是最小解。
 所以，我们需要求出所有解，然后输出最小的那个。
 在求倒三角后，有一些m[i][i]==0，这时，我们对x[i]的取值就有两种，0或1。
 本身，x[i]的取值对第i行的方程没有任何影响，但它的取值对其他方程有影响，
 所以，这里需要枚举x[i]的取值。*/
 void dfs(int now)
 {/*tot表示按下灯的数目*/
     if(tot>=mn)return;/*剪枝，取小操作，一旦大了就不用求了*/
     if(!now)/*搜索的终点*/
     {
         mn=min(mn,tot);
         return;
     }
     if(f[now][now])/*如果now不是自由变元*/
     {/*这就是求出当前解ans[now]的过程，利用了性质t=a^b，那么t^b等于a，最后的 f[now][n+1]，是由前面的ans[i]（f[now][i]不等于0）异或得出的，可以异或回去，求出ans[now] */
         int t=f[now][n+];
         for(int i=now+;i<=n;i++)
             if(f[now][i])t^=ans[i];
         ans[now]=t;
         if(t)tot++;/*如果当前的灯要按下，统计总数*/
         dfs(now-);/*搜索上一盏灯*/
         if(t)tot--;/*回溯的过程，为什么可以回溯呢，因为异或方程组会有多组解，即使当前的now灯不按下，求后面的now-1仍然可以有解，说不定还可以更优，所以要回溯*/
     }
     else /*如果now是自由变元，自由变元取到任何值，最终方程都会有解，就枚举x[now]是0还是1，进行搜索*/
     {
         ans[now]=;dfs(now-);
         ans[now]=;tot++;dfs(now-);tot--;/*别忘记搜索中的回溯*/
     }
 }
 int main()
 {/*f[i][j]表示i--j有边相连，所以是1，其余的是0，在方程组中，*0后结果就没有影响了*/
     freopen("lights.in","r",stdin);
     freopen("lights.out","w",stdout);
     n=read();m=read();
     for(int i=;i<=n;i++)
         f[i][i]=,f[i][n+]=;
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         int x=read(),y=read();
         f[x][y]=f[y][x]=;
     }
     gauss();dfs(n);/*从n开始搜索，是因为n的变元数目少*/
     printf("%d\n",mn);
     fclose(stdin);fclose(stdout);
     return ;
 }

我的代码：

 #define N 40
 #include<iostream>
 using namespace std;
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 int ans[N],f[N][N],x,y,n,m;
 int minn=(<<)-,tot=;
 int read()
 {
     int sum=,ff=;char s;
     s=getchar();
     while(s<''||s>'')
     {
         if(s=='-') ff=-;
         s=getchar();
     }
     while(''<=s&&s<='')
     {
         sum=sum*+s-'';
         s=getchar();
     }
     return sum*ff;
 }
 void gauss()
 {
     for(int i=;i<=n;++i)
     {
         int j=i;
         while(j<=n&&!f[j][i]) j++;
         if(j>n) continue;
         if(i!=j)
         {
             for(int k=;k<=n+;++k)
             {
                 swap(f[i][k],f[j][k]);
             }
         }
         for(int j=i+;j<=n;++j)
           if(f[j][i])
           {
               for(int k=;k<=n+;++k)
                 f[j][k]^=f[i][k];
           }
     }
 }
 void dfs(int now)
 {
     if(tot>=minn) return ;
     if(!now)
     {
         minn=min(minn,tot);
         return ;
     }
     if(f[now][now])
     {
         int t=f[now][n+];
         for(int i=now+;i<=n;++i)
         if(f[now][i]) t^=ans[i];
         ans[now]=t;
         if(t) tot++;
         dfs(now-);
         if(t) tot--;
     }
     else
     {
         ans[now]=;tot++;dfs(now-);
         ans[now]=;tot--;dfs(now-);
     }
 }
 int main()
 {
 //    freopen("lights.in","r",stdin);
 //    freopen("lights.out","w",stdout);
     n=read();m=read();
     for(int i=;i<=n;++i)
         f[i][i]=f[i][n+]=;
     for(int i=;i<=m;++i)
     {
         x=read();
         y=read();
         f[x][y]=f[y][x]=;
     }
     gauss();
     dfs(n);
     printf("%d\n",minn);
 //    fclose(stdin);
 //    fclose(stdout);
     return ;
  }