题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1133

题目的意思是,m个人只有50元钱,n个人只有100元整钱,票价50元/人.现在售票厅没钱,只有50元钱的人可以不用找钱顺利买票,而拿着100元整钱的人只有在前面有50元的情况下才能买票,因为只有这样,才能找零50元.所有的人能否买票和排队的方式有一定关系,问使得所有的人能够顺利买票的排队方式有多少种?

上述问题可以抽象为下面的数学模型,数学模型及求解过程如下图:

本题中每个人是不一样的,所以本题的最终结果:排列的总数应该为U*n!*m!,即:

下面本题的目标就是按照下面思路编程求解:

1.若m<n,则结果为0

2.若m>=n,则结果就是U*n!*m!.

题目m,n<=100,100!是一个很大的数,已有的数据类型无法存储,可以用数组存储,模拟【乘法】和【除法】.

【乘法】的过程见:http://blog.csdn.net/ten_sory/article/details/60476570

【除法】较复杂,这里可以【避免除法】.注意分母只有(m+1),当n>=1的时候,(m+n)!包含(m+1)一项,直接在计算这个阶乘的时候,不计算这一项即可.当n=0的时候,本题的结果为m!.

C++代码如下:

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std; void Multiply(int a[],int z)//大数a[]和小数z相乘,结果存储在a[]中
{
int maxn = 2000;
int c = 0;
for(int j=maxn-1;j>=0;j--)//用z乘以a[]的每一位
{
int x = a[j] * z + c;
a[j] = x % 10;
c = x / 10;
}
} int main()
{
int m,n,num=0;
while(1)
{
cin >> m >> n;
if(!m && !n)
break; cout << "Test #" << ++num << ":" << endl; if(m<n)//m<n,没有符号条件的排列
{
cout << 0 << endl;
continue;
} const int maxn = 2000;
int a[maxn],i,j;
memset(a,0,sizeof(a));
a[maxn-1] = 1; if(n==0)//此时全是拿50元的人,直接输出m!的结果
for(i=2;i<=m+n;i++)//计算m!
Multiply(a,i); else if(n>=1)//此时按照公式计算,避开除法
{
for(i=2;i<=m+n;i++)
if(i!=m+1)//如果,某一项恰好是分母(m+1),则不乘以这一项
Multiply(a,i); Multiply(a,m-n+1);//根据公式,最后还要乘以(m-n+1)一项
} for(i=0;i<maxn;i++)
if(a[i])//从i开始,非零
break;
for(j=i;j<maxn;j++)//输出
cout << a[j];
cout << endl;
} return 0;
}

上述代码,提交可以通过.

小结:

1.关于【卡特兰数】

当m=n时,U的值就是n-卡特兰数,如下图:



更多关于卡特兰数的性质和应用,参看:http://blog.csdn.net/zhangmh93425/article/details/44677891

2.避开除法

本题有一个小技巧,就是避开了除法,因为当n>=1的时候,分子(m+n)!中一定有一项为(m+1),避开这一项,相当于先乘以这一项,再除以这一项.如此避开了麻烦的除法,但是要注意,当n=0的时候,(m+n)!中没有(m+1)这一项,则需要另作处理.

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