[转] POJ数学问题

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1.burnside定理，polya计数法

这个大家可以看brudildi的《组合数学》，那本书的这一章写的很详细也很容易理解。最好能完全看懂了，理解了再去做题，不要只记个公式。

*简单题：（直接用套公式就可以了）

pku2409 Let it Bead      http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2409

pku2154 Color    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2154

pku1286 Necklace of Beads    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1286

*强烈推荐：（这题很不错哦，很巧妙）

pku2888 Magic Bracelet    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2888

2.置换，置换的运算

置换的概念还是比较好理解的，《组合数学》里面有讲。对于置换的幂运算大家可以参考一下潘震皓的那篇《置换群快速幂运算研究与探讨》，写的很好。

*简单题：（应该理解概念就可以了）

pku3270 Cow Sorting    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3270

pku1026 Cipher    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1026

*置换幂运算：

pku1721 CARDS    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1721

pku3128 Leonardo's Notebook    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3128

*推荐：（不错的应用）

pku3590 The shuffle Problem    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3590

3.素数，整数分解，欧拉函数

素数是可能数论里最永恒，最经典的问题了（我们的队名就叫PrimeMusic^-^）。素数的判断，筛法求素数，大素数的判断···还有很多其他问题都会用到素数。

*最水最水的：（心情不爽时用来解闷吧）

pku1365 Prime Land

pku2034 Anti-prime Sequences

pku2739 Sum of Consecutive Prime Numbers

pku3518 Prime Gap

pku3126 Prime Path

pku1595 Prime Cuts

pku3641 Pseudoprime numbers

pku2191 Mersenne Composite Numbers

pku1730 Perfect Pth Powers

pku2262 Goldbach's Conjecture

pku2909 Goldbach's Conjecture

*筛法：

pku2689 Prime Distance（很好的一个应用）    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2689

*反素数：

zoj2562 More Divisors    http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2562

*素数判断，整数分解：

这两题都要用到miller_rabin的素数判断和pollard_rho的整数分解，算法书上都会有，应该是属于模板题吧，不过最好看懂自己敲一遍。

pku1811 Prime Test    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1811

pku2429 GCD & LCM Inverse    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2429

*欧拉函数：

数论里很多地方都能用到欧拉函数，很重要的。

pku1284 Primitive Roots （很水）    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1284

pku2407 Relatives （很水）    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2407

pku2773 Happy 2006    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2773

pku2478 Farey Sequence （快速求欧拉函数）    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2478

pku3090 Visible Lattice Points （法雷级数）    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3090

*推荐：（欧拉函数，费马小定理）

pku3358 Period of an Infinite Binary Expansion    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3358

*整数分解     这个也很重要的耶，包括大数的表示方法。

pku2992 Divisors    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2992

fzu1753 Another Easy Problem    http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1753

hit2813 Garden visiting    http://acm-hit.sunner.cn/judge/show.php?Proid=2813

pku3101 Astronomy （分数的最小公倍数）    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3101

4.扩展欧几里得，线性同余，中国剩余定理  

这应该是数论里比较重要的一个部分吧，这类的题目也挺多，具体的内容最好先看看数论书，我也整理过一些，可以参考参考：

http://hi.baidu.com/ С _shw/blog/item/0676025d56a87d4afbf2c093.html

*简单题：

pku1006 Biorhythms    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1006

pku1061 青蛙的约会    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1061

pku2891 Strange Way to Express Integers    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2891

pku2115 C Looooops    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2115

pku2142 The Balance    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2142

*强烈推荐：

sgu106 The equation    http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=106

pku3708 Recurrent Function （经典）    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3708

5.约瑟夫环问题    

这个问题还是比较有意思的，不是很难。

*简单题：

pku3517 And Then There Was One    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3517

pku1781 In Danger    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1781

pku1012 Joseph    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1012

pku2244 Eeny Meeny Moo    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2244

*推荐：

pku2886 Who Gets the Most Candies?    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2886

6.高斯消元法解方程

其实解方程并不是很难，就是按线性代数中学的那种方法，把系数矩阵化成上三角矩阵或数量矩阵，不过有些题目要判断是否有解，或枚举所有解。不过这类题目我认为比较难的还是怎么去建立这个方程组，这个理解了，就没什么大问题了。

*简单题：

pku1222 EXTENDED LIGHTS OUT    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1222

pku1681 Painter's Problem    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1681

pku1830 开关问题    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1830

*推荐：

pku2947 Widget Factory    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2947

pku2065 SETI    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2065

*强烈推荐：

pku1753 Flip Game    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1753

pku3185 The Water Bowls    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3185

*变态题：

pku1487 Single-Player Games    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1487

7.矩阵    

用矩阵来解决问题确实很常见，但我现在用到还不是很好，很多难题我还不会做。建议大家可以去看Matrix67的那篇关于矩阵的十个问题，确实很经典，但不太好看懂。

*简单：

pku3070 Fibonacci    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3070

pku3233 Matrix Power Series    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3233

pku3735 Training little cats    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3735

8.高次同余方程    

有关这个问题我应该是没什么发言权了，A^B%C=D，我现在只会求D和B，唉，很想知道A该怎么求。就先推荐几道题目吧，这里涉及到了一个baby-step，giant-step算法。

fzu1759 Super A^B mod C    http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1759

pku3243 Clever Y    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3243

pku2417 Discrete Logging    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2417

hdu2815 Mod Tree    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2815

9.容斥原理，鸽巢原理  

很有用的两个定理，但好像单独考这两个定理的不是很多。

*鸽巢原理：

pku2365 Find a multiple    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2356

pku3370 Halloween treats    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3370

*容斥原理：

hdu1695 GCD    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695

hdu2461 Rectangles    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2461

10.找规律，推公式    

这类题目的设计一般都非常巧妙，真的是很难想出来，但只要找到规律或推出公式，就不是很难了。我很多都是在参考别人思路的情况下做的，能自己想出来真的很不容易。     *

个人感觉都挺不错的：

pku3372 Candy Distribution    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3372

pku3244 Difference between Triplets    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3244

pku1809 Regetni    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1809

pku1831 不定方程组    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1831

pku1737 Connected Graph    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1737

pku2480 Longge's problem    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2480

pku1792 Hexagonal Routes    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1792

11.排列组合，区间计数，计数序列    

这些题目可能需要一些组合数学知识，基本上高中的知识就够了。区间计数问题一般不难，但写的时候需要仔细一些，各种情况要考虑到位。至于像卡特兰数，差分序列，斯特灵数···都还挺有意思，可以去看看《组合数学》。

*简单题：

pku1850 Code    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1850

pku1150 The Last Non-zero Digit    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1150

pku1715 Hexadecimal Numbers    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1715

pku2282 The Counting Problem    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2282

pku3286 How many 0's?    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3286

*推荐：

pku3252 Round Numbers    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3252

*计数序列：

pku1430 Binary Stirling Numbers    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1430

pku2515 Birthday Cake    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2515

pku1707 Sum of powers    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1707

12.二分法    

二分的思想还是很重要的，这里就简单推荐几个纯粹的二分题。

*简单：

pku3273 Monthly Expense    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3273

pku3258 River Hopscotch    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3258

pku1905 Expanding Rods    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1905

pku3122 Pie    http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3122

*推荐：

pku1845 Sumdiv    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1845

13.稳定婚姻问题

无意中接触到这个算法，还蛮有意思的，《组合数学》中有详细的介绍。

pku3487 The Stable Marriage Problem    http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3487

zoj1576 Marriage is Stable    http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=1576

 

14.数位类统计问题    

在航点月赛中第一次接触到这类问题，scau大牛little龙推荐我看了一篇论文，09年刘聪的《浅谈数位类统计问题》，这篇论文相当精彩，也相当详细，每道题都有详细的分析和作者的参考代码。所以我也没什么可说的了，这些题的代码我博客里也就不贴了，大家直接去看论文吧。

简单：

ural1057 Amount of degrees    http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1057

spoj1182 Sorted bit squence    https://www.spoj.pl/problems/SORTBIT/

hdu3271 SNIBB    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3271

较难：

spoj2319 Sequence    https://www.spoj.pl/problems/BIGSEQ/

sgu390 Tickets    http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=390