acdream 1148 GCD SUM 莫比乌斯反演 ansx,ansy

GCD SUM

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Problem Description

给出N,M
执行如下程序：
long long  ans = 0,ansx = 0,ansy
= 0;
for(int i = 1; i <= N; i ++)
   for(int j = 1; j <= M; j
++)
       if(gcd(i,j) == 1) ans ++,ansx += i,ansy += j;
cout << ans
<< " " << ansx << " " << ansy << endl;

Input

多组数据，每行两个数N,M(1 <= N,M <= 100000)。

Output

如题所描述，每行输出3个数，ans,ansx,ansy，空格隔开

Sample Input

5 5
1 3

Sample Output

19 55 55
3 3 6

Hint

总数据小于50000

 

对于第一个数字比较容易，用莫比乌斯反演直接就能做。

对于ansx，和ansy是同类问题。现在讨论ansx的做法.

我们设f(d) 代表1<=x<=N,1<=y<=M,gcd(x,y)=d 时，x的求和.

我们设F(d) 代表 1<=x<=N,1<=y<=M,gcd(x,y)为d的倍数时，x的求和

所以F(1) = f(1)+f(2)+f(3)......f(min(N,M))

     F(2) = f(2)+f(4)+f(6)....f(min(N/2,M/2));

     F(i) = f(i)+f(i*2)+f(i*3)....f(min(N/i,M/i));

 

由此我们可得 

由于d = 1 ；所以

对于的反演为

然后可以对mu[i]*i进行筛选，求前N项和。用分块来完成。

代码：

 #include<iostream>
 #include<stdio.h>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 using namespace std;
 typedef long long LL;

 const int maxn = 1e5+;
 bool s[maxn];
 int prime[maxn],len = ;
 int mu[maxn];
 LL hxl [maxn];
 int sum1[maxn];
 void  init()
 {
     memset(s,true,sizeof(s));
     mu[] = ;
     for(int i=;i<maxn;i++)
     {
         if(s[i] == true)
         {
             prime[++len]  = i;
             mu[i] = -;
         }
         for(int j=;j<=len && (long long)prime[j]*i<maxn;j++)
         {
             s[i*prime[j]] = false;
             if(i%prime[j]!=)
                 mu[i*prime[j]] = -mu[i];
             else
             {
                 mu[i*prime[j]] = ;
                 break;
             }
         }
     }
     for(int i=;i<maxn;i++)
         sum1[i] = sum1[i-]+mu[i];
     hxl[] = mu[];
     for(int i=;i<maxn;i++){
         hxl[i] = i*mu[i]+hxl[i-];
     }
 }
 int main()
 {
     init();
     int n,m;
     while(scanf("%d%d",&n,&m)>)
     {
         LL sum = ;
         LL ansi = ,ansj = ;
         int a = n;
         int b = m;
         if(a>b) swap(a,b);
         for(int i=,la = ;i<=a;i++,i = la+)
         {
             la = min(a/(a/i),b/(b/i));
             sum = sum + ((LL)(a/i))*(b/i)*(sum1[la]-sum1[i-]);
             ansi = ansi +(hxl[la]-hxl[i-])*(((LL)(n/i+)*(n/i))/)*(m/i);
             ansj = ansj +(hxl[la]-hxl[i-])*(((LL)(m/i+)*(m/i))/)*(n/i);
         }
         printf("%lld %lld %lld\n",sum,ansi,ansj);
     }
     return ;
 }