FJNU 1153 Fat Brother And XOR（胖哥与异或）

FJNU 1153 Fat Brother And XOR（胖哥与异或）

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【Description】

【题目描述】

Fat brother had master ACM, recently he began to study the operation of XOR (the operation “^”). He thought of a very interesting question: select arbitrary k positive integers from the n positive integers, then XOR the selected k digital, sum all cases of XOR. Now he wants to quickly calculate the results. Maybe the results will be great, just modulo 20162333. For example, 3 integers: 1 2 3, select arbitrary 2 positive integers, the all cases: {1,2}, {2, 3}, {1, 3}. So the results is {(1 ^ 2) + (2 ^ 3) + (1 ^ 3)} %20162333

胖哥是个ACM大牛，最近他在学习异或操作（运算符为“^”）。他想到了个有趣的问题：从n个正整数中任选k个，然后对这k个数异或，对所有异或的结果求和。现在他想快速计算结果。最终结果可能很大，于是模20162333。 例如，3个整数：1 2 3，选择任意2个正整数，所有情况为： {1,2}, {2, 3}, {1, 3}。因此结果为{(1 ^ 2) + (2 ^ 3) + (1 ^ 3)} %20162333

【Input】	【输入】
There are multiple test cases. The first line of input contains an integer T (T <= 20) indicating the number of test cases. For each test case: The first line contains two integer n, k (1 <= k <= n <= 1000) The second line contains n integer ai (1 <= ai <= 1000000000)	多组测试用例。 第一行是一个整数T(T <= 20)表示测试用例的数量。对于每个测试用例： 第一行有两个整数，k(1 <= k <= n <= 1000) 第二行有n个整数ai(1 <= ai <= 1000000000)

【Output】	【输出】
For each test case, output the sum % 20162333	对于每个测试用例，输出和%20162333

【Sample Input - 输入样例】	【Sample Output - 输出样例】
2 3 2 1 2 3 6 2 6 6 6 6 6 6	6 0

【Hint】	【提示】
The first sample test case: (1 ^ 2) + (2 ^ 3) + (1 ^ 3) = 6 The second sample test case: (6 ^ 6) * 15 = 0	第一个样例： (1 ^ 2) + (2 ^ 3) + (1 ^ 3) = 6 第二个样例： (6 ^ 6) * 15 = 0

【题解】

这道题需要以二进制的观点来看待每个ai

举个例子：

Xai表示二进制的下ai的第X位（为方便表示从0开始）

(a1 ^ a2) + (a2 ^ a3) + (a1 ^ a3)

=[(0a1 ^ 0a2) + (0a2 ^ 0a3) + (0a1 ^ 0a3)]*2⁰ +

[(1a1 ^ 1a2) + (1a2 ^ 1a3) + (1a1 ^ 1a3)]*2¹ +

[(2a1 ^ 2a2) + (2a2 ^ 2a3) + (2a1 ^ 2a3)]*2² +

…………………………………………………………………………… +

[(Xa1 ^ Xa2) + (Xa2 ^ Xa3) + (Xa1 ^ Xa3)]*2^X

此时只剩0和1了

我们可以很轻易地知道：0 ^ 0 = 0, 1 ^ 0 = 1, 1 ^ 1 = 0

当然了，a ^ b = b ^ a

所以除了1 ^ 0之外，其他结果为0的情况都是无用的。

因此，题目转换为：求二进制下，1 ^ 0 这种情况出现的次数。

统计ai中二进制第X位出现几次1，保存到bit[x]

第X位提供的1 = 2^X * 有效情况数

有效情况数就是由bit[X]个1与 n-bit[X]个0组合出来的

并且只有取奇数个1的时候，异或的结果才能为1（1 ^ 1 = 0）

由此可以得出

当前有效情况数：

最后利用递推公式快速求组合数c(n,m)=c(n-1,m-1)+c(n-1,m)

（当然你把这个公式当成杨辉三角也是可以的:)）

【代码 C++】

 #include<cstdio>
 #include <cstring>
 #define  mx 1005
 #define mod 20162333
 int main(){
     int t, n, k, i, j, w, opt, bit[], c[mx][mx];
     for (i = ; i < mx; ++i){
         for (c[i][] = c[i][i] = j = ; j < i; ++j)
             c[i][j] = (c[i - ][j] + c[i - ][j - ]) % mod;
     }
     while (~scanf("%d", &t)){
         while (t--){
             memset(bit, , sizeof(bit));
             scanf("%d%d", &n, &k);
             for (i = ; i < n; ++i){
                 scanf("%d", &j);
                 for (w = ; j; j >>= ) bit[w++] += j & ;
             }
             for (i = opt = ; i < ; ++i){
                 for (j = ; j <= k; j += ){
                     opt += (1LL << i) *c[bit[i]][j] % mod*c[n - bit[i]][k - j] % mod;
                     opt %= mod;
                 }
             }
             printf("%d\n", opt);
         }
     }
     return ;
 }

 #include<cstdio>
 #include <cstring>
 #define  mx 1005
 #define mod 20162333
 int read_int(){
     int add = getchar() - '';
     int a = getchar();
     while (a >= '' && a <= '') add = add *  + a - '', a = getchar();
     return add;
 }
 int main(){
     int t, n, k, i, j, w, opt, bit[], *c[mx];
     for (i = ; i < mx; ++i){
         c[i] = new int[i + ];
         for (c[i][] = c[i][i] = j = ; j < i; ++j)
             c[i][j] = (c[i - ][j] + c[i - ][j - ]) % mod;
     }
     while (t = read_int(), t>){
         while (t--){
             memset(bit, , sizeof(bit));
             n = read_int(); k = read_int();
             for (i = ; i < n; ++i){
                 for (w = , j = read_int(); j; j >>= ) bit[w++] += j & ;
             }
             for (i = opt = ; i < ; ++i){
                 for (j = ; j <= k; j += ){
                     if (bit[i] < j || n - bit[i] < k - j) continue;
                     opt += (1LL << i) *c[bit[i]][j] % mod*c[n - bit[i]][k - j] % mod;
                     opt %= mod;
                 }
             }
             printf("%d\n", opt);
         }
     }
     return ;
 }

伪·优化