Mountainous landscape

Description

　　

　　现在在平面上给你一条折线 \(P_1P_2 \cdots P_n\) 。 \(x\) 坐标是严格单调递增的。对于每一段折线 \(P_iP_{i+1}\) ，请你找一个最小的 \(j\) ，使得 \(j \gt i\) 且CJB走在 \(P_iP_{i+1}\) 上能看到折线 \(P_jP_{j+1}\) 的任何一个点。注意，CJB的高度无限趋于0但不可忽略。也就是说，请找一条编号最小的折线 \(P_jP_{j+1}\) 使得 \(j \gt i\) 且线段 \(P_jP_{j+1}\)相交。

　　　

　　　

　　

Solution

　　

　　首先手玩。

　　

　　考虑每一条射线\(\alpha=(P_i,P_{i+1})\)的答案，其实就是最小的\(j\)，满足\(j>i\)且\(P_{j+1}\)严格在该射线上方。

　　

　　有效的、需要考虑的\(P_{j+1}\)，一定在由\((i,n]\)这些点构成的凸包上。我们相当于要判定一条射线\(\alpha\)与凸包是否有交，并找到交线的具体位置。

　　第一个问题很好解决，二分凸包上最逼近射线\(\alpha\)斜率的点，若其在射线上方则凸包与射线有交，否则直接无解。

　　

　　关键是第二个问题。我们知道射线与凸包有交，甚至可以知道具体是哪一条凸包边与射线相交，却不知道是哪一条原边与射线有交，无法输出答案。我们发现这个凸包的信息已经不足以解决我们的问题了，但我们可以二分继续做：如果按相同方法判定左凸包也与射线有交，那么显然答案在左边，递归左凸包计算，并返回其的答案；否则，只能到右凸包里寻找答案。

　　

　　单次询问复杂度\(\mathcal O(log^2)\)。

　　

　　关键思路是无法确定具体方案的时候，考虑利用存在性二分答案。另一个Tips是有关线段树的二分问题，不要总想着用二分套线段树，而应该想想能否用线段树上二分，后者一般是两个\(log\)，而前者是三个\(log\)。

　　

　　

　　

Code

　　

#include <cstdio>
#include <vector>
#define pb push_back
using namespace std;
namespace IO{
    const int S=10000005;
    char buffer[S];
    int pos;
    void Load(){
        pos=0;
        fread(buffer,1,S,stdin);
    }
    char getChar(){
        return buffer[pos++];
    }
    int getInt(){
        int x=0,f=1;
        char c=getChar();
        while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getChar();}
        while('0'<=c&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getChar();}
        return x*f;
    }
}
using IO::getInt;
const int N=100005;
const double EPS=1e-6;
typedef long long ll;
typedef vector<int> vi;
int n;
struct Dot{ int x,y; }a[N];
bool slope_dec(int i,int j,int k){
    return 1ll*(a[j].y-a[i].y)*(a[k].x-a[j].x)>1ll*(a[j].x-a[i].x)*(a[k].y-a[j].y);
}
double slope(int i,int j){
    return 1.0*(a[j].y-a[i].y)/(a[j].x-a[i].x);
}
void getline(int i,int j,double &k,double &b){
    k=slope(i,j);
    b=a[i].y-k*a[i].x;
}
namespace SEG{
    const int S=N*2;
    int rt,sz;
    int ch[S][2];
    vi hull[S];
    int top[S];
    double k,b;
    void build(int &u,int l,int r){
        u=++sz;
        hull[u]=vi(r-l+2);
        top[u]=0;
        for(int i=l;i<=r+1;i++){
            while(top[u]>=2&&!slope_dec(hull[u][top[u]-2],hull[u][top[u]-1],i))
                top[u]--;
            hull[u][top[u]++]=i;
        }
        hull[u].resize(top[u]);
        if(l==r)
            return;
        int mid=(l+r)>>1;
        build(ch[u][0],l,mid);
        build(ch[u][1],mid+1,r);
    }
    void set(double _k,double _b){
        k=_k;
        b=_b;
    }
    int find(int u){
        int l=0,r=top[u]-2,mid;
        while(l<=r){
            int mid=(l+r)>>1;
            if(slope(hull[u][mid],hull[u][mid+1])>k)
                l=mid+1;
            else
                r=mid-1;
        }
        int who=hull[u][r+1];
        return (k*a[who].x+b+EPS<=a[who].y)?who-1:0;
    }
    int query(int u,int l,int r,int L,int R){
        int mid=(l+r)>>1;
        if(L<=l&&r<=R){
            if(l==r)
                return find(u);
            if(!find(u))
                return 0;
            if(find(ch[u][0]))
                return query(ch[u][0],l,mid,L,R);
            else
                return query(ch[u][1],mid+1,r,L,R);
        }
        if(R<=mid)
            return query(ch[u][0],l,mid,L,R);
        else if(mid<L)
            return query(ch[u][1],mid+1,r,L,R);
        else{
            int left=query(ch[u][0],l,mid,L,mid);
            if(left)
                return left;
            return query(ch[u][1],mid+1,r,mid+1,R);
        }
    }
}
void readData(){
    n=getInt();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].x=getInt(), a[i].y=getInt();
}
void solve(){
    for(int i=1;i<n;i++)
        if(i<=n-2){
            double k,b;
            getline(i,i+1,k,b);
            SEG::set(k,b);
            printf("%d ",SEG::query(SEG::rt,1,n-1,i+1,n-1));
        }
        else
            printf("0 ");
    puts("");
}
int main(){
    IO::Load();
    readData();
    SEG::build(SEG::rt,1,n-1);
    solve();
    return 0;
}