【BZOJ 4818】 4818: [Sdoi2017]序列计数 （矩阵乘法、容斥计数）

4818: [Sdoi2017]序列计数

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Description

Alice想要得到一个长度为n的序列，序列中的数都是不超过m的正整数，而且这n个数的和是p的倍数。Alice还希望

，这n个数中，至少有一个数是质数。Alice想知道，有多少个序列满足她的要求。

Input

一行三个数，n,m,p。

1<=n<=10^9,1<=m<=2×10^7,1<=p<=100

Output

一行一个数，满足Alice的要求的序列数量，答案对20170408取模。

Sample Input

3 5 3

Sample Output

33

HINT

Source

鸣谢infinityedge上传

【分析】

　　f[i][j]表示填i个数，mod为j的方案数。

　　这个转移可以用矩阵加速啦，那么n很大也没关系了。

　　然后要至少有一个质数，就用总方案数-没有一个质数。

　　然后一开始跑20s，看到别人2s，然后觉得这个循环矩阵的矩阵乘法可以O(n^2)，改了就2s了。。

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define LL long long
 #define Maxn 20000010
 #define Mod 20170408

 int pri[Maxn],pl;
 bool vis[Maxn];

 void init(int n)
 {
     for(int i=;i<=n;i++) vis[i]=;
     pl=;vis[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(!vis[i]) pri[++pl]=i;
         for(int j=;j<=pl;j++)
         {
             if(pri[j]*i>n) break;
             vis[i*pri[j]]=;
             if(i%pri[j]==) break;
         }
     }
 }

 int sm[],p;

 struct Matrix
 {
     int w[][];
     Matrix() {memset(w,,sizeof(w));}
     friend Matrix operator * (Matrix x,Matrix y)
     {
         Matrix ret;
         for(int k=;k<p;k++)
         {
             // for(int i=0;i<p;i++)
              for(int j=;j<p;j++)
              {
                  ret.w[][j]=(ret.w[][j]+1LL*x.w[][k]*y.w[k][j]%Mod)%Mod;
              }
         }
         for(int i=;i<p;i++)
         {
             for(int j=;j<p;j++) ret.w[i][(j+i)%p]=ret.w[][j];
         }
         return ret;
     }
     friend Matrix operator ^ (Matrix x,int b)
     {
         Matrix ret;
         for(int i=;i<p;i++) ret.w[i][i]=;
         while(b)
         {
             if(b&) ret=ret*x;
             x=x*x;
             b>>=;
         }
         return ret;
     }
 };

 int main()
 {
     int n,m;
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
     init(m);
     for(int i=;i<p;i++) sm[p]=;
     Matrix nw;
     for(int i=;i<=m;i++) sm[i%p]++;
     for(int i=;i<p;i++) for(int j=;j<p;j++) (nw.w[i][(i+j)%p]+=sm[j])%Mod;
     nw=nw^n;
     int ans=nw.w[][];

     for(int i=;i<=m;i++) if(!vis[i]) sm[i%p]--;
     memset(nw.w,,sizeof(nw.w));
     for(int i=;i<p;i++) for(int j=;j<p;j++) (nw.w[i][(i+j)%p]+=sm[j])%Mod;
     nw=nw^n;
     ans=((ans-nw.w[][])%Mod+Mod)%Mod;

     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

2017-04-28 10:51:39