LOJ6252. 「CodePlus 2017 11 月赛」大吉大利，晚上吃鸡！ 最短路+bitset

题目传送门

https://loj.ac/problem/6252

https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5109

题解

首先跑最短路，只保留 \(dis[v] = dis[u] + w\) 的边，形成一个 DAG。

如果只有一个点的话，如何判断这个点是否是必经之点。一个很简单的方式是判断 \(S\to A \to T\) 的方案数是否等于 \(S\to T\) 的方案数。

但是这里的要求是两个点，那么就是 \(S\to A \to T\) 的方案加上 \(S\to B \to T\) 的方案，再减去 \(S\to A\to B \to T\) 的方案，等于 \(S\to T\) 的方案。但是由于必须满足不存在一条路径同时经过 \(AB\)，所以不需要减去，但是需要保证 \(A\) 和 \(B\) 不能相互到达。

我们把 \(S\to A\to B\) 的方案记为 \(f(A)\)，则必须 \(f(A) + f(B) = f(T)\)。但是需要保证 \(A\) 和 \(B\) 不能相互到达，这个可以通过 bitset 来维护对于一个点，哪些点无法和它相互到达就可以了。同时维护 \(b[x]\) 为 \(f(A) = x\) 的 \(A\) 点的集合，与之前的那个 bitset 取交就可以了。

---

下面是代码，时间复杂度 \(O(\frac{n^2}{64})\)，空间复杂度 \(O(\frac{n^2}{8})\)。由于空间复杂度太大，在 bzoj 上是在过不去，在 loj 上可以 AC。

#include<bits/stdc++.h>
#include<tr1/unordered_map>

#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b , 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b , 1 : 0;}

typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<ll, int> pii;

template<typename I>
inline void read(I &x) {
	int f = 0, c;
	while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
	x = c & 15;
	while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
	f ? x = -x : 0;
}

const int N = 5e4 + 7;
const int P = 998244353;

int n, m, S, T, tl;
int vis[N], deg[N], dq[N], f1[N], f2[N], f[N];
ll dis[N];
std::priority_queue<pii, std::vector<pii>, std::greater<pii> > q;
std::bitset<N> b1[N], b2[N];
std::tr1::unordered_map<int, std::bitset<N> > b3;

inline int smod(int x) { return x >= P ? x - P : x; }
inline void sadd(int &x, const int &y) { x += y; x >= P ? x -= P : x; }
inline int fpow(int x, int y) {
	int ans = 1;
	for (; y; y >>= 1, x = (ll)x * x % P) if (y & 1) ans = (ll)ans * x % P;
	return ans;
}

struct Edge { int to, ne, w; } g[N << 1]; int head[N], tot;
inline void addedge(int x, int y, int z) { g[++tot].to = y, g[tot].w = z, g[tot].ne = head[x], head[x] = tot; }
inline void adde(int x, int y, int z) { addedge(x, y, z), addedge(y, x, z); }

inline void dijkstra() {
	memset(dis, 0x3f, sizeof(dis)), dis[S] = 0;
	q.push(pii(dis[S], S));
	while (!q.empty()) {
		int x = q.top().se; q.pop();
		if (vis[x]) continue;
		vis[x] = 1;
		if (x == T) return;
		for fec(i, x, y) if (smin(dis[y], dis[x] + g[i].w)) q.push(pii(dis[y], y));
	}
}

inline void bfs() {
	int hd = 0;
	for (int x = 1; x <= n; ++x) for fec(i, x, y) if (dis[y] == dis[x] + g[i].w) ++deg[y];
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (!deg[i]) dq[++tl] = i;
	while (hd < tl) {
		int x = dq[++hd];
		for fec(i, x, y) if (dis[y] == dis[x] + g[i].w && !--deg[y]) dq[++tl] = y;
	}
}

inline void dp() {
	f1[S] = f2[T] = 1;
	for (int i = 1; i <= tl; ++i) {
		int x = dq[i];
		b1[x].set(x);
		for fec(i, x, y) if (dis[x] == dis[y] + g[i].w) sadd(f1[x], f1[y]), b1[x] |= b1[y];
	}
	for (int i = tl; i; --i) {
		int x = dq[i];
		b2[x].set(x);
		for fec(i, x, y) if (dis[y] == dis[x] + g[i].w) sadd(f2[x], f2[y]), b2[x] |= b2[y];
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = (ll)f1[i] * f2[i] % P, b1[i] |= b2[i], b1[i] = ~b1[i], b3[f[i]].set(i);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		if (f[i] == f[T]) b1[i] |= b3[0];
		if (f[i] == 0) b1[i].reset().flip();
		b1[i].set(i, 0);
	}
}

inline void work() {
	dijkstra();
	bfs();
	dp();
	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) if (b3.count(smod(P + f[T] - f[i]))) ans += (b3[smod(P + f[T] - f[i])] & b1[i]).count();
	printf("%lld\n", ans / 2);
}

inline void init() {
	read(n), read(m), read(S), read(T);
	int x, y, z;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) read(x), read(y), read(z), adde(x, y, z);
}

int main() {
#ifdef hzhkk
	freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
	init();
	work();
	fclose(stdin), fclose(stdout);
	return 0;
}