uva live 7639 Extreme XOR Sum （暴力+二项式）

题目链接：https://icpcarchive.ecs.baylor.edu/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=5661

题意：

　　给你一个长度为n的整数序列，询问任意区间的极端异或和。

　　定义极端异或和：

　　　　当长度n > 1 的时候，将数组长度缩小到n-1。

　　　　[a₁, a₂, a₃ ···, a_n] -> [a₁⊕a₂,  a₂⊕a₃, a₃⊕a₄, ···, a_n-1⊕a_n]。

　　一直缩小，直到长度减为1， 就是极端异或和。

题解：

　　[a₁, a₂, a₃, a₄, a₅] 操作时

　　第一次：[a₁⊕a₂,  a₂⊕a₃, a₃⊕a₄, a₄⊕a₅]

　　第二次：[a₁⊕a₂⊕a₂⊕a₃ ,  a₂⊕a₃⊕a₃⊕a₄, a₃⊕a₄⊕a₄⊕a₅]

　　以此类推到最后我们发现 a₁用了1次， a₂用了4次， a₃用了6次， a₄用了4次， a₅用了1次。

　　1 4 6 4 1。这个正好是C(0,4) C(1,4) C(2,4) C(3,4) C(4,4)。

　　满足二项式的系数。

　　所以对于长度为n的时候，我们需要C(n-1)的系数。

　　

　　我们就可以预处理C数组。

     memset(C, );
     for(int i = ;i<=n;i++){
         C[i][] = ;
         for(int j = ;j<=i;j++) C[i][j] = C[i-][j-] + C[i-][j];
     }

　　因为只需要考虑奇偶性，就可以 C[i][j] = (C[i-1][j-1] + C[i-1][j])%2

　　在第i个位置判断为奇数的时候就异或一下就可以得到ans了。

　　但是一次询问O(n) 的复杂度，会导致TLE。就需要优化一下。

　　

　　我们可以发现 %2 的操作其实就 xor的操作。

　　

 int C[maxn];
 vector <int> pos[maxn];
 void init()
 {
     ms(C, );
     for(int i = ;i<maxn;i++)
     {
         C[] = C[i-] = ;
         for(int j = i-;j>=;j--) C[j] = C[j-]^C[j];
         for(int j = ;j<i;j++)
             if(C[j])
                 pos[i].pb(j);
     }
 }

　　这里减少了一维的空间（可以参考01背包那里），因为都是滚动数组。

　　将第j个位置是奇数，记录起来。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <string>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #include <vector>
 #include <queue>
 #include <map>
 #include <stack>
 #include <set>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 typedef unsigned long long uLL;
 #define ms(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
 #define pb push_back
 #define mp make_pair
 #define eps 0.0000000001
 #define IOS ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
 const int inf = 0x3f3f3f3f;
 const int mod = 1e9+;
 const int maxn = +;
 int a[maxn];
 int C[maxn];
 vector <int> pos[maxn];
 void init()
 {
     ms(C, );
     for(int i = ;i<maxn;i++)
     {
         C[] = C[i-] = ;
         for(int j = i-;j>=;j--) C[j] = C[j-]^C[j];
         for(int j = ;j<i;j++)
             if(C[j])
                 pos[i].pb(j);
     }
 }
 void solve()
 {
     int n;scanf("%d", &n);
     for(int i = ;i<n;i++)  scanf("%d", &a[i]);
     int q;scanf("%d", &q);
     while(q--){
         int l, r;scanf("%d%d", &l, &r);
         int len = r-l+;
         int ans = ;
         int sz = pos[len].size();
         for(int k = ;k<sz;k++){
             ans ^= a[pos[len][k]+l];
         }
         printf("%d\n", ans);
     }
 }
 int main() {
 #ifdef LOCAL
     freopen("input.txt", "r", stdin);
 //        freopen("output.txt", "w", stdout);
 #endif
 //    IOS
     init();
     int t;scanf("%d", &t);
     int cnt = ;
     while(t--){
         printf("Case %d:\n", cnt++);
         solve();
     }
     return ;
 }

还有一个用Sierpinski sieve优化的，附上链接：http://morris821028.github.io/categories/%E8%A7%A3%E9%A1%8C%E5%8D%80/%E8%A7%A3%E9%A1%8C%E5%8D%80-UVa/