5 November in 614

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A. ssoj2964 交错的士兵

\(n\) 个数的排列，从左到右依次为 1, 2, …, \(n\)。\(n\) 次操作，对于第 \(i\) 次操作，从左到右分成很多段，每段 \(i\) 个，若末尾有剩余，剩余部分自成一段；然后对于每一段，段中第一个数移动到该段末尾，其余数向左移动对齐。输出经过 \(n\) 次操作后的排列。\(1\le n\le 10^6\)。

[input]  4
[output] 4 2 3 1

显然 \(n^2\) 模拟会超时。考虑 \(O(n\log n)\) 做法：观察到每次操作仅每段第一个数有较大位移，其余数仅仅向左移动一位。所以如果不移动其余数，仅移动数列头、尾指针和每段第一个数。

代码实现坑点很多。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n, d[2000006];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i=1; i<=n; ++i) d[i]=i;
    for (int i=2; i<=n; ++i) {
        for (int j=n/i*i-(n%i==0?i:0)+i-1; j>=i-1; j-=i)
            d[min(n+i-1,j+i)]=d[j];
    }
    for (int i=n; i<n+n; ++i) printf("%d ", d[i]);
    return 0;
}

B. ssoj2965 乙女文楽

\(n\) 个数的数列。不多于 \(k\) 次修改机会，每次修改将删去所有值为 \(x\) 的数。最大化连续等值区间长度。\(1\le n\le 10^5,0\le k\le n-1, 1\le a_i\le n\)。

尺取法。维护区间头尾指针，保证区间中不多于 \(k+1\) 种数值。随时更新答案。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n, k, a[100005], ans, cnt, col[100005];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i=1, j=1; i<=n; ++i) {
        if (++col[a[i]]==1) ++cnt;
        while (cnt>k+1) if (--col[a[j++]]==0) --cnt;
        ans=max(ans, col[a[i]]);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

C. ssoj2674 Delicious Apples

一个环长度为 \(L\), 上面有 \(n\) 棵树，篮子一次可装 \(k\) 个苹果；给出每棵树的位置和树上的苹果数，求将所有苹果运回原点的最少的总距离。\(1\le n,k\le 10^5,\sum a_i\le 10^5,1\le L\le 10^9\)。

贪心。根据题目意思，有 “原路返回” 和 “走一圈” 两种走法。显然，当只有不多于 \(k\) 个苹果且位于环下部时，走一整圈更优；对于其他情况，显然原路返回更优。实际上，可以证明最优解中只有不多于一次 “走一圈”。

对苹果树离散，分为左右半边，分别贪心。枚举 “走一圈” 包含的苹果数量。

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

int T, n, L, k;
ll sl[100005], sr[100005], l[100005], r[100005], lt, rt, ans;

inline int read() {
    char c; while (!isdigit(c=getchar()));
    int v=c-48; while (isdigit(c=getchar())) v=v*10+c-48;
    return v;
}

int main() {
    T=read();
    while (T--) {
        memset(sl, 0, sizeof(sl)), memset(sr, 0, sizeof(sr)),
        memset(l, 0, sizeof(l)), memset(r, 0, sizeof(r));
        L=read(), n=read(), k=read();
        lt=0, rt=0;
        for (int i=1, pos, num; i<=n; ++i) {
            pos=read(), num=read();
            if ((pos << 1)<=L) while (num--) l[++lt]=pos;
            else while (num--) r[++rt]=L-pos;
        }
        sort(l+1, l+1+lt), sort(r+1, r+1+rt);
        for (int i=1; i<=lt; ++i) {
            if (i<=k) sl[i]=l[i]; else sl[i]=sl[i-k]+l[i];
        }
        for (int i=1; i<=rt; ++i) {
            if (i<=k) sr[i]=r[i]; else sr[i]=sr[i-k]+r[i];
        }
        ans=(sl[lt]+sr[rt])<<1;
        for (int i=1; i<=lt && i<=k; ++i) {
            ll Le=lt-i, Ri=rt-k+i;
            ans=min(ans, ((sl[Le]+sr[Ri])<<1)+L);
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

本题代码调试过程中出现玄学错误。太痛苦了……

D. 三角形牧场 (pasture)

和所有人一样，奶牛喜欢变化。它们正在设想新造型的牧场。奶牛建筑师 Hei 想建造围有漂亮白色栅栏的三角形牧场。 她拥有 \(N\) (\(3≤N≤40\)) 块木板，每块的长度 \(L_i\) (\(1≤L_i≤40\)) 都是整数，她想用所有的木板围成一个三角形使得牧场面积最大。 请帮助 Hei 小姐构造这样的牧场，并计算出这个最大牧场的面积。

暴力枚举三角形两边长度（第三边可以推算出来，即与总长相减），对于所有可能的三角形，Heron 公式更新答案。易证三角形任意一边长度不超过总长的一半。Heron 公式：\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), 其中 \(\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}\).

预处理三角形可能的两边，复杂度 $O(np^2)\approx O(n^5) $。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double eps=1e-5;

int n, x[43], L, p;
int f[803][803];
double ans;

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", &x[i]), L+=x[i];
    double p=L/2.0;
    f[0][0]=1;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
        for (int a=p; a>=0; --a) for (int b=p; b>=0; --b)
            if (a>=x[i] && f[a-x[i]][b] || b>=x[i] && f[a][b-x[i]])
                f[a][b]=1;
    for (int a=p; a; --a) for (int b=p; b; --b) if (f[a][b]) {
        int c=L-a-b;
        if (a<p && b<p && c<p)
            ans=max(ans, (p-a)*(p-b)*(p-c));
    }
    if (ans<eps) printf("-1\n");
    else printf("%d\n", (int)(sqrt(p*ans)*100));
    return 0;
}

在逻辑运算当中，|| 和 && 是 短路符号，| 和 & 不是。而运算符优先级 |、& 要比 ||、&& 高，其中 || 比 && 高。利用以上几点即可继续缩短代码。