[BZOJ4804]欧拉心算

题面戳我

题意：求

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\phi(\gcd(i,j))
\]

多组数据，\(n\le10^7\)。

sol

SBT

单组数据\(O(\sqrt n)\)都是套路了，完整公式就不写了。

最后要线性筛出来的积性函数长成这样

\[h(T)=\sum_{d|T}\mu(\frac Td)\phi(d)
\]

这个要怎么筛？我这种小菜鸡就只会大力分类讨论

我都快数不清我分了几种了

1、\(h(1)=1\)

2、\(h(p)=\mu(p)\phi(1)+\mu(1)\phi(p)=p-2\)

3、\(h(p^2)=\mu(p^2)\phi(1)+\mu(p)\phi(p)+\mu(1)\phi(p^2)=p^2-2p+1\)

4、\(h(p^k)=h(p^{k-1})*p\quad(k>2)\)

剩下的就线性筛了。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e7;
int gi()
{
    int x=0,w=1;char ch=getchar();
    while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?x:-x;
}
int pri[N+5],tot,zhi[N+5],low[N+5];
ll h[N+5];
void Mobius()
{
	zhi[1]=h[1]=1;
	for (int i=2;i<=N;i++)
	{
		if (!zhi[i]) low[i]=pri[++tot]=i,h[i]=i-2;
		for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;j++)
		{
			zhi[i*pri[j]]=1;
			if (i%pri[j]==0)
			{
				low[i*pri[j]]=low[i]*pri[j];
				if (low[i]==i)
					if (i==pri[j]) h[i*pri[j]]=h[i]*pri[j]+1;
					else h[i*pri[j]]=h[i]*pri[j];
				else
					h[i*pri[j]]=h[i/low[i]]*h[low[i]*pri[j]];
				break;
			}
			low[i*pri[j]]=pri[j];
			h[i*pri[j]]=h[i]*h[pri[j]];
		}
	}
	for (int i=2;i<=N;i++)
		h[i]+=h[i-1];
}
int main()
{
	Mobius();
	int T=gi();
	while (T--)
	{
		int n=gi(),i=1;
		ll ans=0;
		while (i<=n)
		{
			int j=n/(n/i);
			ans+=(h[j]-h[i-1])*(n/i)*(n/i);
			i=j+1;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}