DP的优化总结

一、预备知识

1. \(tD/eD\) 问题：状态 t 维，决策 e 维。时间复杂度\(O(n^{e+t})\)。

2. 四边形不等式：

   称代价函数 w 满足凸四边形不等式，当:\(w(a,c)+w(b,d)\le w(b,c)+w(a,d),\ a < b < c < d\)
   
   如下所示，区间1、2对应的 w 之和 ≤ 3、4之和

\[\underbrace {\overbrace {a \to \underbrace{b \to c}_3}^1 \to d }_4
\llap{\overbrace {\phantom{b\to c\to d}}^2}
\]

1. 凸完全单调性：

称矩阵 \(A\) 凸完全单调，当：

\(A(a,c)\ge A(b,c)\Rightarrow A(a,d)\ge A(b,d),\ a < b < c < d\)

如下所示，如果满足1区间对应的 w 比2大，那么可以推出3比4大。

\[\overbrace {\overbrace {a \to b \to c}^1 \to d }^3
\llap{\underbrace {\underbrace{\phantom{b\to c}}_2\phantom{\to d}}_4}
\]

由四边形不等式可以推出完全单调性，反之不真。

1. 区间包含关系单调：w 满足\(w(b,c)\le w(a,d),a\le b\le c\le d\)。
2. 决策单调性：\(r_j\)是使得矩阵A 第 j 列最小的行号。若\(A\)满足凸完全单调性可以推出\(r_1\le r_2 \le \cdots \le r_m\)，即最小值行号递增。

二、优化方法

1. 利用决策单调性

转移方程：\(f(j)=\min_{i < j}\{f(i)+w(i,j)\}\)

令 \(A(i,j)=f(i)+w(i,j)\)表示状态 j 从上一列的第 i 行转移过来的结果。

w满足凸四边形不等式\(\Rightarrow\)w 是凸完全单调的\(\Rightarrow A\)也是凸完全单调的\(\Rightarrow\)决策单调。

令 d(j) 表示最小的满足第 j 行比前面行优的列编号。

每个决策（行）的作用范围是相互连接且递增的列区间，d(j)就是j作用区间的起点，比如：

111224444，d(1)=1,d(2)=4,d(4)=6

由于决策单调，我们用栈维护\(< d(j),j>\)。每次要做的就是：

• 二分找到d(j)在哪个列区间，弹出后面的区间。
• 在这个列区间里二分计算出d(j)
• 入栈

这样就从\(O(n^2)\)优化到了\(O(n\log_2n)\)。

2. 分治优化

转移方程：\(f(i,j)=\min \{f(i-1,k-1)+w(k,j)\}\)

也是利用决策单调性。

令 d(i, j) 表示 f(i, j) 的最优决策。

\(d(i,j')\le d(i,j) ,j' < j\)

于是可以在d(i, j) 前面的区间遍历寻找d(i', j')。

我们分治的过程 \(solve(opt_L,opt_R,l,r)\) 遍历\(opt_L\)到\(opt_R\) 计算出中点\(m=(l+r)/2\) 的 d(i, m)。

那么所有\(l\le x < m\) 的 d(i, x) 一定是在\([opt_L, d(i,m)]\)区间内，所有\(m < x\le r\)的d(i, x) 一定是在\([d(i,m),opt_R]\)区间内。

所以递归：

solve(optL,d[i][m],l,m-1);
solve(d[i][m],optR,m+1,r);

相关文章：post1

3. 单调队列

转移方程：\(\displaystyle f(i)=\min_{j=b[i]}^{i-1}\{g(j)\} + w(i)\)，\(b[i]\)随 i 递增。

若后面的一个决策更优，那么前面的决策就可以删掉。因此单调队列维护决策表：

• 队首出队，直到队首符合范围
• 此时队首就是最优决策
• 计算出的 g(x)如果比队尾优，不断删除队尾，直到g(x)没有更优，则插入队尾。
• \(O(n)\)

4. 斜率优化

转移方程： \(f(i)=\min\{a_{i}\cdot x_{j} + b_{i} \cdot y_{j}\}\)

这是一种数形结合的思想。将每个决策作为一个点\((x_j,y_j)\)，画在平面直角坐标系中，于是我们要找的是让\(z=a_{i}\cdot x+ b_{i} \cdot y\) 最小的点。变形得到\(y=-\frac {a_i}{b_i} \cdot x+\frac z {b_i}\)。也就是找一个点，斜率为\(-\frac {a_i} {b_i}\)的直线经过该点时，纵截距最小。

可以发现所有最优决策点在一个凸壳上。

• 如果斜率和 x 都单调，只要用单调队列维护，队尾的删除是因为要维护凸性，队首的删除是因为决策点在凸壳上是单调移动的，当前队首不是最优解，之后也不会是最优解。\(O(n)\)
• 否则，二分可以找到最优决策点。将凸壳上的点连边，斜率是单调递增的，决策 i 插入时，先根据 x 二分找到插入点，然后两边进行 Graham 维护凸性，就是删点。x 不单调时需要用平衡树动态维护凸包。\(O(n\log_2n)\)
• 另外可以用 cdq分治 代替平衡树来做。
• 斜率优化的题一般也可以用分治优化做。

相关文章：

bzoj1492 [NOI2007]货币兑换Cash

5. 凸包优化（Convex Hull Trick）

转移方程：\(f(i)=\min \{f(j)+b_j*a_i\}\)

其实相当于上式\(a_i=1,x_j=f(j),y_j=b_j,b_i=a_i\)，因此也可以用斜率优化。

将每个决策\(A(i,j)=\color{blue}{b_j}*a_i+\color{green}{f(j)}\)

作为一条直线\(y=\color{blue} {m_j}*x+\color{green}{c_j}\)，当前状态选择的决策就是将\(x=a_i\)带入所有直线，得到最小值的那条直线。

我们用栈维护有效（最小值可能出现在它上面）的直线。

如果\(b_j\)递减，那么相当于不断加入一条斜率更小的直线，它和最后一条直线\(l_1\)的交点如果比\(l_1\)与\(l_2\)的横坐标要更小，则\(l_1\)无效了，从栈中弹出，反复执行直到横坐标不更小或者只剩栈底，此时入栈。这个过程类似维护凸包。

如果\(a_i\)递增，那么每次最小值一定在最后一条直线上。于是复杂度是\(O(n)\)。

相关文章：Convex hull trick

6. 凸包优化2

转移方程：\(f(i,j)=\min \{f(i-1,k)+b_k*a_j\}\)

i 固定时，每个决策\(A(j,k)=\color{blue}{b_k}*a_j+\color{green}{f(i-1,k)}\)，作为一条直线\(y=\color{blue} {m_k}*x+\color{green}{c_k}\)，那么接下来同上。

故总得复杂度是\(O(kn)\)。

相关文章: post2

7. Knuth优化

转移方程 \(f(i,j)=\min\{f(i,k-1)+f(k,j)\}+w(i,j)\)

1. 如果 w 满足四边形不等式和 区间包含单调性，那么 f 也满足四边形不等式。
2. 定义 f 取得最优值的决策：\(s(i, j)\)，如果 f 满足四边形不等式，则 s 单调：\(s(i,j-1)\le s(i,j) \le s(i+1,j)\)

于是转移方程改写为：

\(f(i,j)=\min\{ f(i,k-1)+f(k,j)\}+w(i,j), s(i,j-1)\le k\le s(i+1,j)\)

由于这个状态转移方程枚举的是区间长度L，假设求f(i,i+L),而每次循环长度之和为

\[\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^{n-L}{s(i+1,i+L)-s(i,i+L-1)}\\
&=s(2,L+1)-s(1,L)+s(3,L+2)-s(2,L+1)+s(4,L+3)-s(3,L+2)..\\
&=s(n-L+1,n)-s(1,L)\le n-1
\end{aligned}
\]

枚举L是的\(O(n)\)，于是总的复杂度是\(O(n^2)\)。

Donald E. Knuth 从最优二叉搜索树的数据结构中提出的。

相关文章：1 2

三、题目

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参考文章：

1. Dynamic programming with convexity, concavity and sparsity
2. 《算法艺术与信息学竞赛》p149。
3. 1D1D动态规划优化初步
4. 动态规划算法的优化技巧-毛子青
5. dp优化-个人对dp优化的理解
6. Dynamic Programming Optimizations
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