[luogu 1660]数位平方和

题目描述

定义S(n)表示n的各个数位的k次方的和。定义$H(n)=min{n,S(n),H(S(n))}$。

求$$\sum _{i=A} ^{B} {H(i)} \mod 10000007$$

输入输出格式

输入格式：

一行三个数K、A、B。

【数据规模】

对于20%的数据，满足1≤A、B≤50;

对于100%的数据，满足1≤A、B≤10^6，K≤6.

输出格式：

B 一个数∑H(i) mod 10000007

i=A

输入输出样例

输入样例#1：

2 1 5

输出样例#1：

题解：

很暴力的解法，把每一个数都看作一个点，那么我们可以从一个数的每一位来得到它的下一个数，并向下一个数连一条有向边。

这样我们就得到了一个有向有环图，那么题意就变成了从一个点开始，一直向下走，所经过的所有点的最小值（包括环）。

考虑tarjan缩点，统计一下每一个强连通分量（也就是环）上的最小值。

很显然环上是没有出边的，我们将所有边反向，从入度为0的分量开始拓扑，一路上不断更新路径上的最小值，那么这样就统计出来了每一个点一直向下走，所经过的所有点的最小值。

然后把题目要求的点加在一起输出就可以了。（我用的是前缀和）

另外不要怀疑这道题会因为点过多而超时，当k=6时，以1～100000分别为起点，所经过的数的最大值是3188...（反正是个七位数），还是可以承受的。

时空复杂度O（能过）

 //Never forget why you start

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<cstdlib>

 #include<cmath>

 #include<algorithm>

 #include<queue>

 #define mod (10000007)

 using namespace std;

 int n,t[];

 bool vis[];

 int suan(int x){

   int ans=;

   while(x){

     ans+=t[x%];

     x/=;

   }

   return ans;

 }

 int to[];

 void dfs(int r){

   if(vis[r])return;

   vis[r]=;

   int Next=suan(r);

   to[r]=Next;

   dfs(Next);

 }

 int dfn[],low[],sccno[],scc,dfscnt,mmin[];

 int s[],top;

 void tarjan(int r){

   dfn[r]=low[r]=++dfscnt;

   s[++top]=r;

   int y=to[r];

   if(!dfn[y]){

     tarjan(y);

     low[r]=min(low[r],low[y]);

   }

   else if(!sccno[y])low[r]=min(low[r],dfn[y]);

   if(low[r]==dfn[r]){

     scc++;

     int x;

     while(){

       x=s[top--];

       sccno[x]=scc;

       mmin[scc]=min(x,mmin[scc]);

       if(x==r)break;

     }

   }

 }

 struct node{

   int next,to;

 }edge[];

 int size=;

 void putin(int from,int to){

   size++;

   edge[size].to=to;

   edge[size].next=dfn[from];

   dfn[from]=size;

 }

 void bfs(){

   queue<int>mem;

   for(int i=;i<=scc;i++)if(!s[i])mem.push(i);

   while(!mem.empty()){

     int x=mem.front();mem.pop();

     for(int i=dfn[x];i!=-;i=edge[i].next){

       int y=edge[i].to;

       mmin[y]=min(mmin[y],mmin[x]);

       s[y]--;

       if(!s[y])mem.push(y);

     }

   }

 }

 int main(){

   int i,j;

   scanf("%d",&n);

   memset(mmin,/,sizeof(mmin));

   for(i=;i<=;i++)t[i]=pow(i,n);

   for(i=;i<=;i++){

     dfs(i);

   }

   for(i=;i<=;i++)

     if(!dfn[i])tarjan(i);

   memset(dfn,-,sizeof(dfn));

   memset(s,,sizeof(s));

   for(i=;i<=;i++)

     if(sccno[i]!=sccno[to[i]])putin(sccno[to[i]],sccno[i]),s[sccno[i]]++;

   bfs();

   low[]=;

   for(i=;i<=;i++){

     low[i]=mmin[sccno[i]];

     (low[i]+=low[i-])%=mod;

   }

   int l,r;

   scanf("%d%d",&l,&r);

   printf("%d\n",(low[r]-low[l-]+mod)%mod);

   return ;

 }