P3321 [SDOI2015]序列统计

思路

首先有个挺显然的DP

\[dp[i][(j*k)\%m]+=dp[i-1][j]\times dp[i-1][k]
\]

想办法优化这个DP

这个dp也可以写成这样

\[dp[i][j]=\sum_{p*q=j}dp[i-1][p]\times dp[i-1][q]
\]

看着一副卷积的样子

但是是乘法，可以考虑转化乘法为加法，有两种方式，取ln或者原根

注意到m是质数，所以取原根，每层之间的转移就变成卷积了

但是这题的卷积下标是模m的，所以每次乘完都要把大于m-1的加到对应项上（i+m-1和i对应）所以好像不能直接多项式快速幂

n是\(10^9\)，上个类似快速幂的倍增即可

复杂度是\(O(m \log m \log n)​\)

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <cmath>
#define int long long
using namespace std;
const int MOD = 1004535809;
const int G = 3;
const int invG = 334845270;
const int MAXN = 140000;
namespace getG{
    int q[100000],cnt=0;
    int phi(int n){
        int ans=n;
        int m=(int)sqrt(n+0.5);
        for(int i=2;i<=m;i++){
            if(n%i==0){
                ans=ans/i*(i-1);
                while(n%i==0)
                    n/=i;
            }
        }
        if(n>1)
            ans=ans/n*(n-1);
        return ans;
    }
    int my_pow(int a,int b,int mod){
        int ans=1;
        while(b){
            if(b&1)
                ans=(1LL*ans*a)%mod;
            a=(1LL*a*a)%mod;
            b>>=1;
        }
        return ans;
    }
    int G(int m){
        int Phi = phi(m);
        int sq=sqrt(Phi),mid=Phi;
        for(int i=2;i<=sq;i++)
            if(mid%i==0){
                q[++cnt]=Phi/i;
                while(mid%i==0)
                    mid/=i;
            }
        if(mid>1)
            q[++cnt]=Phi/mid;
        for(int g=2;1;g++){
            int f=true;
            if(my_pow(g,Phi,m)!=1)
                continue;
            else
                for(int j=1;j<=cnt;j++){
                    if(my_pow(g,q[j],m)==1){
                        f=false;
                        break;
                    }
                }
            if(f)
                return g;
        }
    }
};
int rev[MAXN];
int my_pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(1LL*ans*a)%MOD;
        a=(1LL*a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void cal_rev(int n,int lim){
    for(int i=0;i<n;i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
}
void NTT(int *a,int opt,int n,int lim){
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(i<rev[i])
            swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=2;i<=n;i<<=1){
        int len=i/2;
        int tmp=my_pow((opt)?G:invG,(MOD-1)/i);
        for(int j=0;j<n;j+=i){
            int arr=1;
            for(int k=j;k<j+len;k++){
                int t=(1LL*a[k+len]*arr)%MOD;
                a[k+len]=(a[k]-t+MOD)%MOD;
                a[k]=(a[k]+t)%MOD;
                arr=(1LL*arr*tmp)%MOD;
            }
        }
    }
    if(!opt){
        int invN = my_pow(n,MOD-2);
        for(int i=0;i<n;i++)
            a[i]=(1LL*a[i]*invN)%MOD;
    }
}
void mul(int *a,int *b,int &at,int bt){
    int num=(at+bt),n=1,lim=0;
    while(n<=(num+2))
        n<<=1,lim++;
    cal_rev(n,lim);
    static int tmp[MAXN];
    for(int i=0;i<n;i++)
        tmp[i]=b[i];
    NTT(a,1,n,lim);
    NTT(tmp,1,n,lim);
    for(int i=0;i<n;i++)
        a[i]=(1LL*a[i]*tmp[i])%MOD;
    NTT(a,0,n,lim);
    at+=bt;
}
void sqr(int *a,int &at){
    int num=(at+at),n=1,lim=0;
    while(n<=(num+2))
        n<<=1,lim++;
    cal_rev(n,lim);
    static int tmp[MAXN];
    for(int i=0;i<n;i++)
        tmp[i]=a[i];
    NTT(tmp,1,n,lim);
    for(int i=0;i<n;i++)
        a[i]=(1LL*tmp[i]*tmp[i])%MOD;
    NTT(a,0,n,lim);
    at=num;
}
void my_pow(int *a,int *b,int n,int m,int k){
    static int tmp[MAXN];
    for(int i=0;i<=n;i++)
        tmp[i]=a[i];
    b[0]=1;
    int bt=m-1;
    while(k){
        if(k&1){
            mul(b,tmp,bt,n);
            for(int i=0;i<m;i++){
                b[i]=(b[i]+b[i+m-1])%MOD;
                b[i+m-1]=0;
            }
            for(int i=m;i<=bt;i++)
                b[i]=0;
            bt=m-1;
        }
        sqr(tmp,n);
        for(int i=0;i<m;i++){
            tmp[i]=(tmp[i]+tmp[i+m-1])%MOD;
            tmp[i+m-1]=0;
        }
        for(int i=m;i<=n;i++)
            tmp[i]=0;
        n=m-1;
        k>>=1;
    }
}
int n,m,pos[MAXN],S,x,a[MAXN],b[MAXN];
signed main(){
    scanf("%lld %lld %lld %lld",&n,&m,&x,&S);
    int g=getG::G(m);
    for(int i=1,t=1;i<=m-2;i++){
        t=(1LL*t*g)%m;
        pos[t]=i;
    }
    for(int i=1;i<=S;i++){
        int midx;
        scanf("%lld",&midx);
        if(midx)
            a[pos[midx]]=1;
    }
    my_pow(a,b,m-1,m,n);
    printf("%lld\n",b[pos[x]]);
    return 0;
}